存在可逆矩阵P、Q，使PAQ=B，则A与B等价，充要条件就是R(A)=R(B)

证明：

a1,a2,....an,线性无关，而a1,a2,....an,b,r线性相关，所以有x1a1+x2a2+....xnan+xb+yr=0,若y=0,则x1a1+x2a2+....xnan+xb=0,说明a1,a2,...an,线性相关，同理x=0,可得a1,a2,....an,r线性相关。若x,y都不为零，两边除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,这表示b可以用a1,a2,....an,r.表示。若除以y可证明r可以用a1,a2,....an,b表示。这就说明a1,a2,....an,b与a1,a2,....an,r等价.综合可得命题的证