等分 děngfēn equally divide 等量划分。另“等分”就是将一个物体或数量等分几份的一种解题方法。运用这种方法解答有关多边形的面积问题，常会使人有“柳暗花明”的感受。

释义

等分在解题中的妙用(运用平行四边形定义 运用梯形定义 运用三角形面积法等分 运用中点性质等分)

尺规十等分圆方法

释义

1.等分 指方剂中各个药物的用量相等。

2.等级名分。 晋 袁宏 《后汉纪·桓帝纪下》：“执诚说，修规矩，责名实，殊等分，则守文之风有益於时矣。”谓使分量或数额多寡相同。 北魏 贾思勰 《齐民要术·造神麴并酒等》：“大率：小麦，生、炒、蒸三种，等分。”《南史·萧惠开传》：“封秩鲜而兄弟甚多，若全关一人，则在我所让，若人人等分，又事可悲耻。” 明 李时珍 《本草纲目·序例上》：“今方家云等分者，非分两之分，谓诸药斤两多少皆同尔，多是丸散用之。”

等分在解题中的妙用

运用平行四边形定义

例1 求图1正六边形的面积。（单位：厘米）分析与解 将正六边形按图2所示等分成3个平行四边形。所以，正六边形的面积为：37.5×（65÷2）×3=3656.25（平方厘米）

例2 如图3，四边都相等的两个完全相同的四边形，在两边的中点处部分重合。已知重合部分的面积是8平方厘米。求阴影部分的面积。

分析与解 将图3按图4所示等分成7个棱形。所以，阴影部分的面积为：8×6=48（平方厘米）

运用梯形定义

例3 如图5所示，求出中队旗的面积。（单位：厘米）

分析与解 将图5按图6所示等分成2个梯形。所以，中队旗的面积为：

（60+80）×30÷2×2=4200（平方厘米）

例4 将正方形的四条边分别向两端各延长一倍，连接8个端点得到一个八边形（如图7），求阴影部分的面积。

分析与解 将八边形按图8所示等分成4个梯形。所以，阴影部分的面积为：

（2+2×2）×2÷2×4=24（平方厘米）

运用三角形面积法等分

例5 如图9，梯形的面积是36平方厘米，BE是BC的一半。求阴影部分的面积。

分析与解 将梯形按图10所示等分成3个等底等高的三角形。所以，阴影部分的面积为：36÷3=12（平方厘米）

例6 如图11，平行四边形的面积是49平方厘米，E是底边上的中点。求阴影部分的面积。

分析与解 将平行四边形按图12所示等分成4个等底等高的三角形。所以，阴影部分的面积为：49÷4=12.25（平方厘米）

运用中点性质等分

例7 如图13，长方形ABCD的长是10厘米，宽是6厘米，E、F分别是AB和AD的中点。求阴影部分的面积。

分析与解 将阴影部分等分成与△AEF完全相等的3个三角形（如图14）。所以，阴影部分的面积为：（10÷2）×（6÷2）÷2×3=22.5（平方厘米）

例8 如图15，一张边长是4厘米的正方形纸，剪去两邻边中点连线的一个角，求剩下的面积。

分析与解 将正方形等分成8份（如图16），其中剪去的面积占1份。所以，剩下的面积为（4×4÷8×7

尺规十等分圆方法

凡是用尺规可作的图，都可只用圆规作出（不包括连续点）。此题也不例外。方法如下。

注意：下面的作图只用圆规，不用直尺。并把“以点O为圆心，以AB为直径作圆”简写做“作圆（O，AB）”

设半径为R，十边形边长为a，则a^2=R*(R-a)。解得，a=R*（5^(1/2)-1）/2.

利用六等分圆周的方法可以求得2a，3a，4a……na……。我们可以利用下面的方法求a/n，在圆（O，na）取点A作圆（A，AB=a），交点为B，B1。再作菱形BAB1O1，得AO1=a/n。至此，我们可作一条已知线段的任意有理数倍数。

已知线段的任意无理数倍数（只要尺规作图能作的）也都可单用直尺作出，下面只说可作形如a*n^(1/2)的线段可作。

利用六等分圆周的方法可以求得a*3^(1/2)的线段，若再作菱形使其一条对角线为2a，一边为a*3^(1/2)，则另一条对角线长为a*2^(1/2)。若对角线和边长分别改为2a，3a，则另一条对角线长为a*5^(1/2)。下面几个算式是：6=（2*2^(1/2)）^2-(2^(1/2))^2,7=9-2,10=12-2,11=16-5,12=16-4,13=25-12,14=16-2,15=16-1,17=32-15,……。