连续可微函数的总变差, 可由如下的积分给出
任意实值函数 ƒ 定义在区间 [a,b] 上的总变差, 由
定义. 其中 supP 对区间 [a,b] 中的所有分划 P 取上界.
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定义在有界区域上的实值可积函数 ƒ 的总变差, 定义为
其中 是 Ω 中的紧支集上全体连续可微向量函数构成的集合, 是本质上确界范数.
若 ƒ 可微,
首先需要利用高斯散度定理证明一个等式.
引理
在假设条件下, 下面的等式成立:
引理证明
由高斯散度定理 . 将 代入, 可得
由于在 Ω 的边界上 , 从而
注意到 代入上式, 移项即得
.
如果函数 f 的总变差有限, 则称函数 f 为有界变差函数.