代数系统

定义：非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,......,fk组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记作

<S,f1,f2,...,fk>

例如<N,+>，<Z,+,*>,<R,+,*>都是代数系统，其中+和*分别表示普通的加法和乘法。

<P（S）,∪,∩,～>也是代数系统，其中含有两个二元运算∪和∩以及一个一元运算～。

注：

P（S）为集合S的幂集

子代数

定义：设V=<S,f1,f2,...,fk>是代数系统，BíS,如果B对f1,f2,...,fk都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称<B,f1,f2,...,fk>是V的子代数系统，简称子代数。

例如：

N是<N,+>的子代数，因为N对加法运算+是封闭的。N也是<N,+,0>的子代数，因为N对加法运算+是封闭，且

N中含有代数常项0。N-{0}是<N,+>的子代数，但不是<Z,+,0>的子代数，因为<Z,+,0>的代数常项是0ÏN-{0}.

对于任何代数系统V=<S,f1,f2,...,fk>，其子代数一定存在。最大的子代数就是V本身。

积代数

定义：设V1=<A,o>和V2=<B,*>是同类型的代数系统，o和*为二元运算，在集合A×B上如下定义二元运算x，

"<a1,b1>,<a2,b2>∈A×B,有：

<a1,b1>x<a2,b2>=<a1oa2，b1*b2>

称V=<A×B,x>为V1与V2的积代数，记作V1×V2.这时也称V1和V2为V的因子代数。