定义

背景

应用

猜想

定义

肖刚不等式(Xiao inequality)是反映曲面纤维化的相对不变量之间的重要不等式， 也可以称作是斜率不等式。在半稳定情形， 这一不等式也称Xiao-Cornalba-Harris不等式。

设f:X→C是代数曲面上的非局部平凡纤维化， 我们定义斜率：

λ_f=(ω_{X/C}· ω_{X/C}) /deg f_*ω_{X/C}=K_f^2/χ_f·

这里K_f^2=(ω_{X/C}· ω_{X/C}) 是相对典范除子和自身的相交数--即自交数； χ_f=deg f_*ω_{X/C} 也是相对不变量. 肖刚不等式表述为：

λ_f≧(4g-4)/g.

等号成立时， f是超椭圆纤维化。

背景

肖刚不等式来自于肖刚对于曲面纤维化的著名研究工作。 在半稳定情形Cornalba和Harris也从曲线模空间的角度独立得到了这一不等式。 这一不等式的证明有两类主要方法。 一是利用代数曲线上的向量丛的Harder滤过构造； 另一种是利用向量丛的推广Bogomolov不等式获得。

这一不等式在高维情形也有类似推广， 但结果一般还不是最佳的。 其中著名的Kawamata不等式可以看作是高维情形肖刚不等式的最弱形式推广--即典范除子的正性。

应用

肖刚不等式结合典范类不等式，可以得到原始形式的Arakelov不等式。反过来， 曲面上已知的各类重要不等式却无法推出肖刚不等式。

利用该不等式， 人们可以定义超椭圆纤维化 上每个奇异纤维F的Horikawa数 H_F, 使得

K_f^2-(4-4/g)χ_f=∑_F H_F·

这一关系式的左边是整体不变量，右边确是每个奇异纤维提供的局部不变量。

猜想

肖刚猜想f的斜率λ_f有更强的不等式： λ_f≧(4g-4)/(g-q_f). 这里q_f是相对非正则性。如果这一猜想成立， 那么结合典范类不等式， 人们可以直接得到最更好形式的Arakelov不等式。