台阶定理

所谓“台阶定理”，就是受到台阶的启发，联想到的一种解题思路。我们可以把台阶看作一个个自然数，第一阶就是1，第二阶就是2，、、、，第n阶就是n。如果把一个n阶的台阶，和一个（n-1）阶的台阶交错合起来，就刚好是是一个矩形。这个矩形的面积值一定是n的（n-1）倍。换句话说，假若一个自然数，加上1后的和能被2整除，它就一定可以分成两个连续自然数的和的形式（也就是说，所有奇数都能分成两个连续自然数的和的形式。）；加上（1+2）后的和能被3整除，它就一定可以分成三个连续自然数的和的形式；、、、；加上（n-1）后的和能被n整除，它就一定可以分成n个连续自然数的和的形式。

下面举例说明怎样运用“台阶定理”解答题目。

例如前面的题，78明显不能分成两个、、，

（1）（78+1+2）/3=81/3=27，所以78=25+26+27；

（2）（78+1+2+3）/4=84/4=21，所以78=18+19+20+21；

（3）（78+1+2+3+4）/5=88/5=17、、、、、、4，所以78不能分成5个、、、、、、；

（4）（78+1+2+、、、+11）/12=12，所以78=1+2+3+、、、+11+12。若按现行教材把零归在自然数一类，它还有78=0+1+2+、、、+11+12这种形式。

这种方法虽然没有用高级的代数方法分析来得快，但是它简单容易操作，一看就会。假若你先把连续自然数的和：1、3、6、10、15、、、、，算出来列成表，在加上计算器，算起来还是很快的！