复变函数论的核心定理 。 它讨论一个区域D上的复函数在什么条件下在D上积分与路径无关 ， 最简单的柯西积分定理的形式为：当D是单连通区域 ，而f（z）是D上的解析函数时，以下3个互相等价的结论成立 ： ① f（z） 在D内沿任意可求长曲线积分与路径无关。②f（ z ）在 D内沿任意可求长闭曲线积分为零。③f（z ）在D上有原函数 。 如果在连续函数类中讨论，则以上定理还是可逆的。柯西定理有以下常用的变化的形式 ：①D 是由几条简单光滑闭曲线围成的有界区域，记L＝D，f（z）在D上解析，在Image:柯西积分定理1.在DUL上连续，则必有

②在上述条件下 ，若 L＝L0＋…＋L即D由L0，，…，L所围成，

作为柯西积分定理的应用，有同样可作为解析函数充要条件的柯西积分公式：f（z）在上连续 ，在D内解析的充要条件是。

。柯西积分公式是证明一系列解析函数重要性质的工具，首先是证明了圆盘上的解析函数一定可展为幂级数 ，从而证明了 A.-L.柯西与K.魏尔斯特拉斯关于解析函数两个定义的等价性 ，其次证明了解析函数是无限次可微的，从而其实部与虚部也是无限次可微的调和函数。柯西积 分定理 已推广到沿同 伦曲线或沿同调链 积分的形式。柯西积分公式在多复变函数中也有许多不同形式.

简单的说，定义如下：

设C是一条简单闭曲线，函数f（z）在以C为边界的有界区域D内解析，在闭区域D‘上连续，那么有:

f(z)对曲线的闭合积分值为零。

（注:f(z）为复函数）