简介

解释

证明

与黎曼ζ函数的联系

简介

(Bernoulli Numbers)

伯努利数是18世纪瑞士数学家雅各布·伯努利引入的一个数。

设伯努利数为B(n),它的定义为:

t/(e^t-1)=∑[B(n)*(t^n)/(n!)](n:0->∞)

这里|t|<2。由计算知：

B(0)=1,B(1)=-1/2,

B(2)=1/6,B(3)=0,

B(4)=-1/30,B(5)=0,

B(6)=1/42,B(7)=0,

B(8)=-1/30,B(9)=0),

B(10)=5/66,B(11)=0,

B(12)=-691/2730,B(13)=0,

B(14)=7/6,B(15)=0,

B(16)=-3617/510,B(17)=0,

B(18)=43867/798,B(19)=0,

B(20)=-174611/330 ……

解释

一般地,n>=1时,有B(2n+1)=0;n>=2时,有公式B(n)=∑[C(k,n)*B(k)](k:0->n)可用来逐一计算伯努利数。伯努利数在数论中很有用。例如，对于佩尔方程-=-4（≡1(mod4)是素数），N.C.安克尼和E.阿廷曾猜想它的最小解x0+(y0)*√(p)满足 ,1960年，L.J.莫德尔证明了在≡5(mod8)时,S.乔拉证明了在≡1(mod8)时，上述猜想等价于伯努利数B((p-1)/2)的分子不被整除。伯努利数还可用于费马大定理的论证中。设>3，如果伯努利数B,B,…,B(p-3)的每一个的分子不被整除，这样的素数叫正规素数，否则就叫非正规素数。

证明

德国数学家E.E.库默尔证明了:当为正规素数时,费马大定理成立。不难计算当3<<100时，除开=37,59,67以外,其余的素数都是正规素数。因此,在费马大定理的研究中，库默尔的结果是一项突破性的工作(见不定方程)。尽管有许多判别正规素数的法则，但是，是否有无穷多个正规素数，尚未解决。而非正规素数有无穷多个，早在1915年就被人们所证明。

与黎曼ζ函数的联系

欧拉以黎曼ζ函数表达伯努利数为：