基本概念

子群的判别

子群的基本性质

基本概念

设<G,·>是一个群，H是G的子集，若H在运算·下也是群，则称H是G的子群。

作为二元关系，子群关系具有传递性。即若H是G的子群而K是H的子群，则K也是G的子群。

子群的判别

关于群的子群的判别问题，有下列命题：

1.设H是群<G,·>的非空子集，则H是G的子群当且仅当H满足下列两条件之一：

（1）对任意a,b∈H，a·b∈H 且a^(-1)∈H；

（2）对任意a,b∈H, a·b^(-1)∈H。

任何群<G,·>有两个平凡的子群：G和，其中e是G的幺元。

子群的基本性质

H是群G的子群当且仅当其为非空集且在乘积和逆运算下为封闭的。(封闭条件是指：任两个在H内的元素a和b，ab和a−1都为在H中。这两个条件可以结合成一个等价的条件：任两个在H内的a和b，ab−1也会在H内。)在H是有限的情状下，则H是一个子群当且仅当H在乘积下为封闭的。(在此一情形下，每一个H的元素a都会产生一个H的有限循环子群，且a的逆元素会是a−1 = an − 1，其中n为a的目。)

上述的条件可以用同态来叙述；亦即，H为群G的子群当且仅当H为G的子集且存在一个由H映射到G的内含同态(即对每个a，i(a) = a)。

子群的单位元亦是群的单位元：若G是个有单位元素eG的群，且H为具有单位元素eH之G的子群，则eH = eG。

一个子群内的一元素之逆元素为群内的此元素的逆元素：若H是群G的子群，且a和b为会使得ab=ba=eH之H内的元素，则ab = ba = eG。

子群A和B的交集亦为一个子群。但其联集亦为一个子群当且仅当A或B包含着另外一个，像是2和3是在2Z与3Z的联集中，但其总和5则不是。

若S是G的子集，则存在一个包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集来找出；此一最小子群被标记为<S>且称为由S产生的子群。G内的一个元素在<S>内当且仅当其为S内之元素的有限乘积且其逆元。

群G内的每一个元素a都会产生一个循环子群<a>。若<a>同构于某一正整数n之Z/nZ，则n会是最小个会使得an = e的正整数，且n被称为是a的“目”。若<a>同构于Z，则a会被称有“无限目”。

任一给定的群之子群都会形成一个在内含下的完全格，称之为子群格。(其最大下界为一般的集合论交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合论联集“所产生”的子群。)若e为G的单位元素，则其当然群{e}会是群G的最小子群，而其最大子群则会是群G本身。