| 词条 | 重一数 |
| 释义 | 重一数，就是全是重复数字1的数，比如1111111111111111111。本文为了表示简单，我们不妨把前面这个数写作R19，它表示一个由19个1组成的重一数。则，R2=11，R3=111，……以此类推。 有数论基础的人不难发现，素数个1组成的重一数就是梅桑数底数为10的情况。 重一数看似简单，但是通过研究重一数的素因子，你可以发现其中隐含着很多有趣的东西。这里首先引入一个定义——强素因子。 含义重一数，就是全是重复数字1的数，比如1111111111111111111。本文为了表示简单，我们不妨把前面这个数写作R19，它表示一个由19个1组成的重一数。则，R2=11，R3=111，……以此类推。 有数论基础的人不难发现，素数个1组成的重一数就是梅桑数底数为10的情况。 重一数看似简单，但是通过研究重一数的素因子，你可以发现其中隐含着很多有趣的东西。这里首先引入一个定义——强素因子。 若Rn有素因子p，且对于任何r<n，都不存在Rr有素因子p，我们称p为Rn的强素因子。通俗的说，我们从R2、R3、R4开始写每个重一数的素因子，强素因子就是那些新出现的素因子。可见，若一个素数是Rm的强素因子，他就不可能再是Rn（n≠m）的强素因子了。不同的同一数，它们强素因子所组成的集合之间没有交集。 两个定理定理1p为素数的充分必要条件是Rp的所有素因子皆为强素因子。 定理2一个素数p的倒数的循环节位数为m（素数的倒数皆是纯循环小数）的充分必要条件是，p为Rm的强素因子。 定理1的例子比如R7=239x4649，而239，4649都是R7的强素因子，换句话说，R2、R3、R4、R5、R6中皆没有239和4649这两个素因子。 定理2的例子即1/239=0.<0041841>，这个式子指0041841为1/239的循环节，可见它为7位。 同样的，1/4649=0.<0002151>，亦为7位循环节。除了239和4649这两个素数外，再也没有素数的倒数是7位循环节了。 定理2说明，一个素数的循环节位数表明了它是哪个重一数的强素因子。我们利用电子计算机技术，可以通过计算一个素数的循环节位数，来寻找大重一数（一般是100以上）的强素因子，继而对该重一数分解素因子。 定理3Rn的强素因子是kn+1的形式。（k为自然数） 例子比如：239=34x7+1，4649=664x7+1。由定理3可见，Rn的强素因子一定大于n+1，换句话说，一个素数p，它倒数的循环节位数最大为p-1。 对于定理2、3，应该补充一句：对于2、3、5这三个素数例外，很明显重一数是不可能把2、5作为素因子的，而对于3来说，1/3=0.<3>，只有1位循环节，但是它却是R3的强素因子，另外3不是3k+1的形式。定理2、3对于其它素数都是满足的，这一点也很容易证明。 我们可以看到R2是一个素重一数。容易证明，当n为合数时，Rn一定为合数。那么，有没有更大一些的素重一数呢？答案是有的，本文开头所示的R19即为第二个素重一数，下一个素重一数是R23，再下一个便是R317了，之后是R1031，R49081，R86453，R109297。可见，素重一数的分布是没有规律的。关于素重一数的研究，可以与梅桑素数的研究相似。 形如(10^n-1)/9的整数，如1,11,111,111,... 一般记为Rn. 为素数的前几个重一数是2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297. 前面几个的分解式 1 no prime factors 2 11 3 3 37 4 (2) 101 5 41 271 6 (2,3) 7 13 7 239 4649 8 (2,4) 73 137 9 (3) 3 333667 10 (2,5) 9091 11 21649 513239 12 (2,3,4,6) 9901 13 53 79 265371653 14 (2,7) 909091 15 (3,5) 31 2906161 16 (2,4,8) 17 5882353 17 2071723 5363222357 18 (2,3,6,9) 19 52579 19 1111111111111111111 20 (2,4,5,10) L M L 3541 M 27961 21 (3,7) 43 1933 10838689 22 (2,11) 11 23 4093 8779 23 11111111111111111111111 24 (2,3,4,6,8,12) 99990001 25 (5) 21401 25601 182521213001 26 (2,13) 859 1058313049 27 (3,9) 3 757 440334654777631 28 (2,4,7,14) 29 281 121499449 29 3191 16763 43037 62003 77843839397 30 (2,3,5,6,10,15) 211 241 2161 31 2791 6943319 57336415063790604359 32 (2,4,8,16) 353 449 641 1409 69857 33 (3,11) 67 1344628210313298373 34 (2,17) 103 4013 21993833369 35 (5,7) 71 123551 102598800232111471 36 (2,3,4,6,9,12,18) 999999000001 37 2028119 247629013 2212394296770203368013 38 (2,19) 909090909090909091 39 (3,13) 900900900900990990990991 40 (2,4,5,8,10,20) 1676321 5964848081 41 83 1231 538987 201763709900322803748657942361 42 (2,3,6,7,14,21) 7 127 2689 459691 43 173 1527791 1963506722254397 2140992015395526641 44 (2,4,11,22) 89 1052788969 1056689261 45 (3,5,9,15) 238681 4185502830133110721 46 (2,23) 47 139 2531 549797184491917 47 35121409 316362908763458525001406154038726382279 48 (2,3,4,6,8,12,16,24) 9999999900000001 49 (7) 505885997 1976730144598190963568023014679333 50 (2,5,10,25) 251 5051 78875943472201 51 (3,17) 613 210631 52986961 13168164561429877 52 (2,4,13,26) 521 1900381976777332243781 53 107 1659431 1325815267337711173 47198858799491425660200071 54 (2,3,6,9,18,27) 70541929 14175966169 55 (5,11) 1321 62921 83251631 1300635692678058358830121 56 (2,4,7,8,14,28) 7841 127522001020150503761 57 (3,19) 21319 10749631 3931123022305129377976519 58 (2,29) 59 154083204930662557781201849 59 2559647034361 4340876285657460212144534289928559826755746751 60 (2,3,4,5,6,10,12,15,30) L M L (20L) 61 4188901 M (20M) 39526741 61 733 4637 329401 974293 1360682471 106007173861643 7061709990156159479 62 (2,31) 909090909090909090909090909091 63 (3,7,9,21) 10837 23311 45613 45121231 1921436048294281 64 (2,4,8,16,32) 19841 976193 6187457 834427406578561 65 (5,13) 162503518711 5538396997364024056286510640780600481 66 (2,3,6,11,22,33) 599144041 183411838171 67 493121 79863595778924342083 28213380943176667001263153660999177245677 68 (2,4,17,34) 28559389 1491383821 2324557465671829 69 (3,23) 277 203864078068831 1595352086329224644348978893 70 (2,5,7,10,14,35) 4147571 265212793249617641 71 241573142393627673576957439049 45994811347886846310221728895223034301839 72 (2,3,4,6,8,9,12,18,24,36) 3169 98641 3199044596370769 73 12171337159 1855193842151350117 49207341634646326934001739482502131487446637 74 (2,37) 7253 422650073734453 296557347313446299 75 (3,5,15,25) 151 4201 15763985553739191709164170940063151 76 (2,4,19,38) 722817036322379041 1369778187490592461 77 (7,11) 5237 42043 29920507 136614668576002329371496447555915740910181043 78 (2,3,6,13,26,39) 13 157 6397 216451 388847808493 79 317 6163 10271 307627 49172195536083790769 3660574762725521461527140564875080461079917 80 (2,4,5,8,10,16,20,40) 5070721 19721061166646717498359681 81 (3,9,27) 3 163 9397 2462401 676421558270641 130654897808007778425046117 82 (2,41) 2670502781396266997 3404193829806058997303 83 3367147378267 9512538508624154373682136329 346895716385857804544741137394505425384477 84 (2,3,4,6,7,12,14,21,28,42) 226549 4458192223320340849 85 (5,17) 262533041 8119594779271 4222100119405530170179331190291488789678081 86 (2,43) 57009401 2182600451 7306116556571817748755241 87 (3,29) 4003 72559 310170251658029759045157793237339498342763245483 88 (2,4,8,11,22,44) 617 16205834846012967584927082656402106953 89 497867 103733951 104984505733 5078554966026315671444089 403513310222809053284932818475878953159 90 (2,3,5,6,9,10,15,18,30,45) 29611 3762091 8985695684401 91 (7,13) 547 14197 17837 4262077 43442141653 316877365766624209 110742186470530054291318013 92 (2,4,23,46) 1289 18371524594609 4181003300071669867932658901 93 (3,31) 900900900900900900900900900900990990990990990990990990990991 94 (2,47) 6299 4855067598095567 297262705009139006771611927 95 (5,19) 191 59281 63841 1289981231950849543985493631 965194617121640791456070347951751 96 (2,3,4,6,8,12,16,24,32,48) 97 206209 66554101249 75118313082913 97 12004721 846035731396919233767211537899097169 109399846855370537540339266842070119107662296580348039 98 (2,7,14,49) 197 5076141624365532994918781726395939035533 99 (3,9,11,33) 199 397 34849 362853724342990469324766235474268869786311886053883 100 (2,4,5,10,20,25,50) L M L 7019801 14103673319201 M 60101 1680588011350901 101 4531530181816613234555190841 129063282232848961951985354966759 18998088572819375252842078421374368604969 102 (2,3,6,17,34,51) 291078844423 377526955309799110357 103 1031 7034077 153211620887015423991278431667808361439217294295901387715486 $ 473457925534859044796980526236853 104 (2,4,8,13,26,52) 1580801 632527440202150745090622412245443923049201 105 (3,5,7,15,21,35) 30703738801 625437743071 57802050308786191965409441 106 (2,53) 9090909090909090909090909090909090909090909090909091 107 643 999809 9885089 215257037 2386760191 511399538427507881 646826950155548399 10288079467222538791302311556310051849 108 (2,3,4,6,9,12,18,27,36,54) 109 153469 59779577156334533866654838281 109 1192679 712767480971213008079 5295275348767234696493 246829743984355435962408390910378218537282105150086881669547 110 (2,5,10,11,22,55) 331 5171 20163494891 318727841165674579776721 111 (3,37) 37 30557051518647307 8845981170865629119271997 90077814396055017938257237117 112 (2,4,7,8,14,16,28,56) 113 73765755896403138401 119968369144846370226083377 113 227 908191467191 538957123122177190652671034266853972984987051734492265550033 $ 46881878523705781079015749721646701723 114 (2,3,6,19,38,57) 1458973 753201806271328462547977919407 115 (5,23) 31511 19707665921 20414137203567631 5799951513941382144830754391 122403569491783662720773144041 116 (2,4,29,58) 349 38861 618049 11811806375201836408679635736258669583187541 117 (3,9,13,39) 240396841140769 537947698126879 3352825314499987 2304017384484085131816292573 118 (2,59) 1889 1090805842068098677837 4411922770996074109644535362851087 119 (7,17) 923441 3924966376871 768736559421401249042753476963 323012942148562751650814544437350454640448842187 120 (2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60) 100009999999899989999000000010001 |
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