简介

陈类

分裂性

波格莫罗夫不等式

三次覆盖

简介

秩2向量丛是比线丛更复杂的向量丛。 直观上说，就是底流形上每点处的2维向量空间的粘合。秩2向量丛局部上拓扑平庸， 但整体上未必拓扑平庸。

曲面上的切丛和余切丛都是秩二向量丛，它们反映了曲面本身的性质。

设E是秩二向量丛， E'是其对偶丛，那么E'=E(-det E).

陈类

秩2向量丛有两个陈示性类 (简称陈类 ，chern class) c1和c2. 这两个示性类扮演了重要的角色。 按照向量丛陈类计算的分裂原理， 假想该向量丛可以分裂成两个线丛的直和，那么c1和c2可以通过这两个线丛被表达。

比如在代数曲面上，c1就是det(E)--可看成两线丛对应的除子之和， c2就是两个除子的相交数。

特别是代数曲面的余切丛的陈类c1称为典范除子，记为K. 其自交数K^2称为典范体积 。

c2就是欧拉示性类 χ.

分裂性

在代数几何中， 秩2向量丛是非常重要的一类对象。 人们想知道，一个秩二向量丛何时分裂。

射影直线上任何向量丛都可分裂为线丛之和，因此秩二向量丛分裂为两个线丛直和。

在射影曲面上，存在不分裂的秩二向量丛。

对n维射影空间，n≧6, 人们猜测秩2向量丛必定分裂。 这个猜想也叫做哈兹霍恩猜想.

波格莫罗夫不等式

秩二向量丛陈类c_1, c_2 如果满足不等式c_1^2>4c_2, 那么它必定不是半稳定的。

这就是著名的波格莫罗夫不等式。 它和代数曲面的宫岗-丘(Miyaoka-Yau)不等式在代数曲面理论中有着广泛而深刻的应用。

波格莫罗夫定理诱导了著名的瑞德(Reider)方法, 为研究某类特殊线性系的性质提供了强有力的工具。

它还被应用于代数曲线 理论中最著名的凯莱-巴拉赫问题，即研究一条曲线经过另外两条曲线的交点的问题。 这个著名的问题可以被演化为许许多多射影几何中的经典定理， 比如帕斯卡定理等等。

三次覆盖

三次覆盖就是曲面之间的全纯映射π：X→Y ， 使得映射次数degπ=3.

一个三次覆盖对应了一个秩二向量丛 E. 反过来， 秩2向量丛张量上一个线丛后可以对应某个三次覆盖。这样， 研究三次覆盖的问题等价于研究向量丛的问题。