向量值函数的定义(引入 定义式 参数方程)

向量值函数的极限与连续(引入 极限表达式)

向量值函数的微分

向量值函数的定义

引入

我们知道，一元函数是一个由定义域到值域的映射，其定义域与值域都是一维数集．我们要研究的向量值函数是指分量都是关于同一自变量的一元函数，就是说n 元向量值函数是x到x^n上的映射．我们感兴趣的是取值为二维和三维的向量值函数，即n = 2和n = 3的情形．

例如，在平面内运动的质点在t时刻的坐标(x, y)可以描述为

x = f (t), y = g(t)，t∈I ．

这样点(x, y) = ( f (t), g(t))形成平面曲线C ，它是质点的运动路径，它用参数方程来描述．如果用r(t)表示从原点到质点在时刻t的位置P( f (t), g(t))的向量，那么

r(t) = OP = { f (t), g(t)} = f (t)i + g(t)j

定义式

r(t) ={ f (t), g(t), h(t)} = f (t)i + g(t)j+ h(t)k

参数方程

Γ : x = f (t), y = g(t), z = h(t), t∈I

向量值函数的极限与连续

引入

首先，我们通过向量值函数的分量函数来定义它的极限，然后再定义它的连续性．

对于二维向量值函数r(t) = f (t)i + g(t)j，设它在t0 的某去心邻域内有定义，

如果lim f(t)=a (t→t0),lim g(t)=b (t→t0)

则称当t →t0 时，向量值函数r(t)的极限存在，其极限为lim r(t)=a i+b j (t→t0)

如果二维向量值函数r(t) = f (t)i + g(t)j在0 t 的某邻域内有定义，且lim r(t)=r(to) (t→t0)

则称向量值函数r(t)在点t0 处连续．如果r(t)在区间I 的每个点上连续，则称r(t)为区间I 上连

续的向量值函数．

极限表达式

lim r(t)=a i+b j (t→t0)

其中lim f(t)=a (t→t0),lim g(t)=b (t→t0)

向量值函数的微分

若向量值函数r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k

则向量值函数的微分表达式为

r'(t) = x'(t)i + y'(t)j+z'(t)k

或dr(t)/dt = {dx(t)/dt+dy(t)/dt+dz(t)/dt}