简介

数学定义

截面

例子

简介

数学上,向量丛是一个几何构造，对于拓扑空间(或流形,或代数簇)的每一点用互相兼容的方式附上一个向量空间，所用这些向量空间"粘起来"就构成了一个新的拓扑空间(或流形，或代数簇)。一个典型的例子是流形的切丛:对流形的每一点附上流形在该点的切空间。或者考虑一个平面上的光滑曲线，然后在曲线的每一点附上和曲线垂直的直线；这就是曲线的"法丛"。

这个条目主要处理有限维纤维的实向量丛。复向量丛也在很多地方有用；他们可以视为有附加结构的实向量丛的特例。

向量丛是更一般的纤维丛的特例 。

数学定义

假设E和M是两个微分流形，其中M是m维流形。 是M上的一组坐标卡 （即U_i 同胚于m维欧氏空间的某个开集）。假设它们之间有可微映射 π：E→M, 满足以下两个条件，就称E为M上的向量丛。

（1）局部平庸条件：

π^(-1)(U_i)≌U_i×R^n，即在M的每个局部邻域上，E可看成是某个n维欧氏空间与底流形的开集的笛卡尔积--从而E局部上是一个(n+m)的欧氏空间的开集。特别地，对每一点p∈U_i，p在π下的原像 是一个n维欧氏空间，π^(-1)(p)≌R^n

（2）相容条件：在非空交集 U_i∩U_j上， 存在向量空间的同构映射φij:π^(-1)(U_i)≌U_i×R^n→π^(-1)(U_i)≌U_i×R^n， (p,v)→(p,φij(v)).

特别地， 如果U_i∩U_j∩U_k非空，那么复合映射φij φjk φki=1（这里1是恒同映射）。

n称为向量丛E的秩。秩1的向量丛称为线丛。

φij称为转移函数（也称转换函数，过渡函数）。它反映了向量丛整体非平庸性，体现了向量丛扭曲的程度。

截面

向量丛π：E→M 的截面，就是指一个光滑映射 σ:M→E,使得πσ=1（恒同映射）。由于M上每个点在σ下的像都是对应的n维向量空间中的一个向量，所以截面整体上就定义了M上的一个光滑向量场 。 因此可以认为向量场和向量丛的截面是同一件事。

有了截面之后，我们就可以看出向量丛整体是否拓扑平庸， 也就是看出向量丛的扭曲程度。

比如带边莫比乌斯带就是圆圈S^1上的非平庸向量丛的截面（即某个光滑向量场）。

例子

给定两个向量丛π：E→M，和π‘：E'→M， 我们可以构造出新的向量丛:

(1)E的对偶丛E∨

(2)直和丛E⊕E'

(3)张量丛E☉E'

(4)对称积S^r(E)

(5)外积∧^r(E)

等等

此外，流形M上自带了切丛和余切丛。这是微分几何中最重要的两个向量丛。

线丛也是一种特殊的向量丛，它和自身的对偶张量一下变成了平凡丛。全体线丛在张量下构成一个群， 称为Picard群。线丛也称为可逆丛。