几何中的完全四边形(完全四边形的定义 完全四边形的性质 完全四边形的深入研究)

图论中的完全四边形

几何中的完全四边形

完全四边形的定义

完全四边形,由四条直线或球面上四条大圆的弧组成，其中每一条直线或弧都与其余的直线或弧相交于三点（即没有三线共点）所构成的图形。或者我们把两两相交,且没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形。

如图所示，在完全四边形中ADCFBE，有四个三角形：ΔACE、ΔABD、ΔCDF、ΔBEF，有凸四边形ADFE，凹四边形ACFB，折四边形CDEB，六个点A、B、C、D、E、F，三条对角线AF、DE、BC。

完全四边形的性质

1。完全四边形中四个三角形的外接圆共点，此点称为密克点。

2。完全四边形中四个三角形的垂心共线，称为垂心线。

3。完全四边形的一条对角线被其余两条对角线调和分割。

4。过完全四边形的密克点作四个三角形的西姆松线，所得四线重合，称为完全四边形的西姆松线。

5。完全四边形的西姆松线与垂心线平行。

6。完全四边形的任一组“对节”在西姆松线（或垂心线，因为它们平行）上的射影，其长度总保持相等。

7。完全四边形三条对角线的中点三点共线，这条直线与完全四边形的西姆松线、垂心线垂直，这条线称为牛顿线。

8。梅涅劳斯定理。

9。完全四边形的三条对角线为直径的圆共轴，且完全四边形的四个三角形的垂心在这条轴上，此线称为完全四边形的垂足线。垂足线与牛顿线垂直。

10。完全四边形的四个三角形的外接圆圆心共圆，这四个圆心每三个构成的三角形的垂心分辨在构成完全四边形的四条直线上，且这四个垂心为顶点构成的四边形与四个圆心为顶点构成的四边形全等。

11。在完全四边形ABCDEF中，点G是对角线AD所在直线上抑异于点A的任意一点，则

cot∠AGC+cot∠AGF=cot∠AGB+COT∠AGE

完全四边形的深入研究

在《近代欧氏几何学》§195中有一条关于Simson线的比较隐蔽的性质：

“三角形任一边在一点的西摩松线上的射影，等于这点到其他两边的垂线的垂足之间的距离。”

同样，在梁绍鸿《初等数学复习及研究（平面几何）》中也有这一命题：

“圆上一点对于内接三角形的西摩松线夹于该三角形任两边（所在直线）间的线段，等于第三边在该西摩松线上的射影。”（复习题三第44题）

其实它揭示了完全四边形的一个深刻属性：

命题：完全四边形的任一组“对节”在Simson线（或垂心线，因为它们平行）上的射影，其长度总保持相等！如右下图中，红线是完全四边形ABCD的Simson线（Miquel点在完全四边形的四边上射影所共之线），对节AB、CD在Simson线上的射影分别为A0B0、C0D0。则总成立A0B0=C0D0。

如左下图，如果把完全四边形还原为Apollonius研究过的抛物线的切线，那么这个命题还相当于抛物线切线的如下性质：

抛物线的动切线夹在两条定切线AB、AC之间的线段EF，在准线上的射影E0F0保持定长！

其实，2003年女子竞赛中的平几题也有这一背景：

如右图，在△ABC中，外接圆半径AO的延长线交对边于D，过D任作一角EDF（E、F分别在AB、AC上）等于180°－∠A，则E、F在底边BC上的射影E0、F0间的距离保持不变（不随∠EDF的转动而变化）。

题中，直线AB、AC及动直线EF任意两个位置形成一个完全四边形，D相当于其Miquel点，而BC边的方向恰平行于准线（或Simson线）。

如左图，在闵飞一题的讨论中，我们将问题归结为完全四边形某一组对节的相等。但是两条线段的长度既要相等，其射影（在同一条直线上的）也必需相等，这究竟怎么回事？

注意：射影长等于线段的长度乘以倾斜角的余弦。因此只有如下两种可能：一是这组对节既平行又相等，即形成一个平行四边形——这是一种退化的情形（因为这时完全四边形的特征全消失了）；

二是这组对节位于Simson线的异侧，其实这时倾斜角不是相等，而是相反：

记起了一个常见习题：

“如右图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是对边AD、BC的中点，直线MN分别与BA、CD的延长线交于P、Q点。求证：∠APM=∠DQM。”

现在可以看出本题的另一重背景来了：直线MN正是完全四边形ABCD的Simson线！难怪它和这组对节所在的直线交角必须相等，呵呵。

图论中的完全四边形

图论中有个完全图的概念，代表含有n个顶点而且每两个顶点之间恰好有一条边的无向图。所以n个顶点的完全图含有n(n-1)/2条边。通常我们记n个顶点的完全图为Kn,而其中K4称为完全四边形。