与多边形各角都相交的圆叫做多边形的外接圆。 三角形一定有外接圆，其他的图形不一定有外接圆。 三角形的外接圆圆心是三边的垂直平分线的交点。 三角形外接圆圆心叫外心

性质

作图方法

性质

锐角三角形外心在三角形内部。

直角三角形外心在三角形斜边中点上。

钝角三角形外心在三角形外。

有外心的图形，一定有外接圆(各边中垂线的交点，叫做外心）

外接圆圆心到三角形各个顶点的线段长度相等

过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心

在三角形中，三角形的外心不一定在三角形内部，可能在三角形外部（如钝角三角形）

也可能在三角形上（如直角三角形）

过不在同一直线上的三点可作一个圆（且只有一个圆）

作图方法

即做三角形三条边的垂直平分线(两条也可，两线相交确定一点）

以线段为例，可以看作是三角形一边。分别以两个端点为圆心适当长度（相等）为半径做圆（只画出与线段相交的弧即可），再分别以两交点为圆心，等长为半径（保证两圆相交）做圆，过最后的两个圆的两个交点做直线，这条直线垂直且平分这条线段即线段的垂直平分线。

例题分析

例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．分析 由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角．

解 ∵ PC⊥平面ABC

∴ 平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA－C的平面角．

设PC=a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是

∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴ ∠PAC=45°∴ 在Rt△DEA

评注 本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解．

例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离．(图1－126)

分析 设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ．同理，有PB⊥a，

∵ PA∩PB=P，

∴ a⊥面PAQB于Q

又 AQ、BQ

平面PAQB

∴ AQ⊥a，BQ⊥a．

∴ ∠AQB是二面角M－a－N的平面角．

∴ ∠AQB=60°

连PQ，则PQ是P到a的距离，在平面图形PAQB中，有

∠PAQ=∠PBQ=90°

∴ P、A、Q、B四点共圆，且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R

在△PAB中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA=180°-60°=120°，由余弦定理得

AB2=1+4-2×1×2cos120°=7

由正弦定理：

评注 本例题中，通过作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角．

例3 如图1-127过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a 求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．

分析 二面角B－PC－D的棱为PC，所以找平面角作棱的垂线，而平面PAB和平面PCD所成二面角“无棱”须找二面角的棱．

解 (1)∵ PA⊥平面ABCD，BD⊥AC∴ BD⊥PC(三垂线定理)

在平面PBC内，作BE⊥PC，E为垂足，连结DE，得PC⊥平面BED，从而DE⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角．

在Rt△PAB中，由PA=AB=a

∵ PA⊥平面ABCD，BC⊥AB

∴ BC⊥PB(三垂线定理)

在Rt△PBC中，

在△BDE中，根据余弦定理，得

∴ ∠BED=120°

即二面角B－PC－D的大小为120°．

(2)过P作PQ ∥AB，则PQ

平面PAB，

∵ AB∥CD ∴ PQ∥CD，PQ

平面PCD

∴ 平面PAB∩平面PCD于PQ

∵ PA⊥AB，AB∥PQ ∴ PA⊥PQ

∵ PA⊥平面ABCD，CD⊥AD

∴ CD⊥PD(三垂线定理的逆定理)

∵ PQ∥CD ∴ PD⊥PQ

所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角．

∵ PA=AB=AD，∴∠APD=45°

即平面PAB和平面PCD所成的二面角为45°.

评注 在求无棱二面角的大小时有时须作出棱线后再找平面角．

外接圆半径是三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离

内切圆半径是三角形三个角的角平分线的交点到三角边的距离.

外接圆半径:公式:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (R就是外接圆半径) 本题可以这样：①．先利用余弦定理：a^2=b^2+c^2－2bc·cosA 求出：cosA=(b^2+c^2－a^2)/2bc 在利用公式：sinA^2+cosA^2=1确定 sinA=根号(1－cosA^2) =根号[(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)]/(2bc) 然后代入 a/sinA=2R求出R． R=abc/根号[(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)]

直角三角形外接圆半径=二分之一×斜边

内切圆半径:r=2S/(a+b+c)，其中S是三角形面积，a、b、c是三角形三边。

海伦公式：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2