定义

梯形中位线的性质(拓展延伸 梯形中位线定理的证明)

观察梯形中位线容易出现的误区(与三角形中位线作对比)

例题

定义

连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

梯形中位线的性质

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

拓展延伸

梯形中位线×高=（上底+下底）×高÷2=梯形面积

梯形中位线到上下底的距离相等

中位线长度=（上底+下底）÷2

梯形中位线定理的证明

如图1　梯形ABCD，E为AB的中点，F为CD的中点，连接EF，

求证：EF平行两底且等于两底和的一半。证明：连接AF，并且延长AF于BC的延长线交于O

在△ADF和△FCO中

∵ AD//BC

∴ ∠D=∠1 图1

又∵ ∠2=∠3 DF=CF

∴ △ADF≌△FCO

∵ 点E,F分别是AB，AO中点

∴ EF为三角形ABO中位线

∴ EF∥OB即EF∥BC

∵ AD//BC

∴ EF∥BC∥AD（EF平行两底）

∵ EF为三角形ABO的中位线

∴ 2EF=OB

OB=BC+CO CO=AD

∴ 2EF=BC+AD

∴ EF=（BC+AD）÷2（EF等于两底和的一半）

梯形的中位线平行于上下两底且等于两底和的一半

观察梯形中位线容易出现的误区

1.梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。

2.三角形中位线有三条，而梯形中位线只有1条。

与三角形中位线作对比

　三角形　 梯形

中位线概念　连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．　
连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

要点　要把三角形的中位线与三角形的中线区分开，三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段　梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段。

联系　两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线
就变成三角形的中位线　

中位线定理　三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半　梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

例题

例1 如图，在梯形ABCD中AD//BC，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别与BD、AC相交于M、N.且AD=20cm，BC=36cm.求MN的长. 分析：因为EF是中位线，所以EF//AD//BC，EF= (AD+BC)如果能求出EM和NF的长，就可以求出MN的长.

解：梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴EF= (BC+AD)÷2，∵AD=20cm，BC=36cm

∴EF= (20+36)÷2=28cm

∴EF//AD//BC（梯形中位线定理）

∵EF//AD，在△BAD中得

M为BD中点（过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边）

∴EM= 1/2AD=10cm（三角形中位线定理）

同理可证NF=10cm

∴MN=EF-EM-NF=28-10-10=8（cm）

说明：这里用到梯形中位线平行于两底的性质.又由平行线等分线段定理的推论2，得到BD的中点M，从而又得到三角形中位线，又用到了三角形中位线的性质.