定义

证明

性质

CAD绘图中的应用

相关知识

阿波罗尼斯（Apollonius）圆，简称阿氏圆。

定义

在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ， 当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。设M、N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点，则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且MN=[2λ/（λ^2-1）]AB。

证明

我们可以通过公式推导出AN的长度：AN:BN=AP:BP ，其中BN=AN+AB，所以AN:(AN+AB)=AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP)，以NM为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。

性质

由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理，即：

设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标，下同）、mb、mc，则有以下关系：

b^2+c^2=a^2/2+2ma^2；

c^2+a^2=b^2/2+2mb^2；

a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。

（此定理用余弦定理和勾股定理可以证明）。

CAD绘图中的应用

最近在某论坛上看见一道CAD绘制的趣味练习题，起初绞尽脑汁不知从何下“鼠标”。最后跟着高人学习发现了一个重要的定理，后来发现该定理对于CAD的使用还是比较有意义的，遂进行了详细的揣摩理解。在此与大家分享一下阿氏圆定理在中望CAD绘图中的应用。

阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P到两定点A、B的距离之比等于定比m：n，则P点的轨迹，是以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆。该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。

举个例题，各尺寸如下图所示，求出线段a的长度。

分析：其中红色的线条(即三角形与圆)都非常的容易，那么线段a与2a该如何来求呢。通过上面的定理介绍结合这两个线段1:2的关系。两线段的交点应该是阿氏圆(m：n=1:2)上的一点，并且为与已知半径为10的圆相交的那一点。

首先，我们先将容易的部分作出。然后将70的边通过divide命令等分为3份(因为比例为1:2)，等分点为A、B两点。

其次，以长70的边的两个端点为圆心，分别做半径为R与2R的两个圆(同样是为了1:2)，R任意，只要满足所作的两个圆相交即可。两圆交与C、D两点。

过C、A、D点通过三点画圆，所得粉色的圆即为所求阿氏圆，与半径为10的已经圆交与O点。将黄色的辅助对象删除，连接O点与长70边的两个端点，最后进行标注即可。

到此，a值已经求出。不知大家是否已经掌握，最后留一个另外一题供大家思考，感兴趣的同志可以自己动手尝试一下。

相关知识

1.到两定点的距离之商为定值的点的轨迹是阿波罗尼斯圆。

2.到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆。

3.到两定点的距离之差为定值的点的轨迹是双曲线。

4.到两定点的距离之积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线。