若p 个质点在时刻t 同时碰撞于一点﹐这就称为在t 发生了体碰撞。碰撞时刻 t 是多体运动方程的奇点。当时间趋于t 时﹐碰撞质点的相互距离趋于零﹐监于万有引力与距离平方成反比﹐所以加速度趋于无穷大﹐微分方程在该点不再满足解的存在及唯一性定理的条件。能否通过一定的变换消除这一奇点﹐碰撞以后天体如何运动﹐在碰撞时刻附近轨道的渐近表现如何﹐以及虽不发生碰撞但出现几个质点彼此紧密接近﹐这时轨道的性质又如何﹐诸如此类都是碰撞问题所要讨论和研究的。

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碰撞问题

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collision

作者

黄天衣

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从理论上说﹐不消除碰撞奇点就不可能得到多体问题的全局解。实际工作也要求解决碰撞和紧密接近时轨道的计算问题。

只要二体碰撞得到了详尽研究﹐并适当选取参数﹐就可以毫无困难地把天体在碰撞前后的运动清楚地表示出来。两个天体在相互引力的作用下﹐沿著一条近乎直线的轨道碰撞﹐然后就反弹回来。经过碰撞﹐这个系统的能量积分﹑动量矩积分和质量中心的运动状态都保持不变。尽管碰撞时天体的加速度会无限增大﹐但是两个天体之间的距离r 和其中任何一个天体的速度的平方之积r 却趋于一个确定的有限值。所以﹐二体碰撞奇点是非本质的﹐可以通过一定的变换予以消除。

研究二体以上的碰撞问题要困难得多﹐至今还有很多问题未弄清楚。但可以肯定﹐若要所有天体都同时碰撞于一点﹐则该系统的动量矩的三个分量必须全部为零。因此﹐在研究该系统的一般运动状态时可避开这种情况。在三体问题的三体碰撞方面﹐有一些更为具体的研究成果。首先﹐如发生三体碰撞﹐三个质点必须始终保持在一个平面上。另外﹐它们只能组成等边三角形或连成一直线。发生在碰撞奇点邻近三体碰撞轨道的坐标的渐近表示式是形?t －t ) 项的线性组合﹐这些特徵指数 中有一个取值为2/3﹐其他一般是无理数。这说明与二体碰撞奇点不同﹐三体碰撞奇点是本性奇点。松德曼对三体问题的碰撞奇点作了深入的研究。他首先适当选择初始条件﹐以排除三体碰撞﹐然后引入一个变量ω 代替t 作自变量﹐以消去所有的二体碰撞奇点。他证明了三质点的坐标﹑它们相互间的距离以及时间 t 都是ω 的解析函数﹐因此能展开为它的收敛幂级数。而且这一点对于任何时刻都有效。松德曼级数是三体问题最重要的成果之一。

在N 个天体(质点)组成的多体问题中﹐在某一时刻如果每个天体受到的引力都指向该系统的质心﹐并且引力的大小正比于该天体的质量和它到质心的距离﹐就称这 N 个天体组成的几何形状为中心构形。具有相似形状的中心构形﹐都看成是同一类的。N 个天体在趋于N 体碰撞时﹐它们所组成的几何形状一定越来越接近于某类中心构形。如果这 N 个天体组成的系统具有无穷多类中心构形﹐则在趋于N 体碰撞时﹐就可能摆动于这些中心构形之间。

参考书目

C.L.Siegel and J.K.Moser﹐Lectures on Celestial Mechanics﹐Springer-Verlag﹐Berlin﹐1971