（一）命题

（二）量词

（一）命题

1、命题的定义：能判断真假的语句叫做命题，其实质是可判断真假的陈述句。例如：（1）所有无理数都是实数；（2）函数y=2x 1是单调增函数；（3）空间内垂直于同一条直线的两条直线平行。这些语句都可以判断真假，所以都是命题，其中（1）、（2）是真命题，（3）是假命题。

几点说明：

（1）要判断句子是否是命题。首先，要看给出的句子的句型，一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．其次，要看能不能判断其真假，也就是判断其是否成立。不能判断真假的语句，就不能叫命题。例如“这是一棵大树”、“ < 1252572824"> ”是否成立。值得注意的是，在数学或其他科学技术中的一些猜想仍是命题。例如著名的哥德巴赫猜想，虽然目前还不能确定这些语句的真假，但是随着科学技术的发展和时间的推移，总能确定它们的真假，所以人们把这一类猜想仍算为命题。

（2）还有一种语句，如“x>5”、“x2－1=0”等，语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句的真假的。这种含有变量的语句叫做开语句（条件命题）。开语句不是命题。

2、一个命题，一般可用一个小写英文字母表示，如：p，q，r，…

3、判断为正确的命题叫做真命题，判断为不正确的命题叫做假命题

（二）量词

1、全称量词与全称命题。在数学中经常会见到一些含有变量x的语句，如x2-1=0,5x-1是整数等，可用符号p（x）、q（x）……表示，由于不知道x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题，然而，当赋予变量x某个值或一定条件时，这些含有变量的语句又可以变成可判定真假的语句，从而成为命题.例如p（x）：x2-1=0，不是命题，但如果加上“对所有整数x”的条件，又可以得到p：对所有整数x，x2-1=0,这是一个假命题。

这里的短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，含有全称量词的命题叫做全称命题。全称量词通常用符号“ ”表示。

一般地，设p（x）是某集合M的所有元素都具有的性质，那么全称命题就可以记作：

。

说明：

1.（1）与“所有”等价的说法有：“一切”“每一个”“任一个”等。由于自然语言的不同，同一个全称命题可以有不同的表述方法。注意：有时省去全称量词，仍为全称命题。例如：“正方形都是矩形”，省去了全称量词“所有”。因此，要结合具体问题做出正确的判断。（2）判断一个全称命题为真命题，必须对限定集合中的每一个元素x验证p（x）成立，一般用代数推理给出证明。如果一个全称命题为真命题，那么给出的限定集合中的每一个元素x都具有性质p（x）。如果判断全称命题是假命题，只要存在一个x0 不满足p（x）就可以了。

2、存在量词与存在性命题。短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，用符号“ ，读作“p且q”。