概述

内容

证明

概述

有一圆分别与三角形ABC的外接圆⊙O和直线AB,AC相切于D,P,Q，则PQ中点为三角形ABC的内心或旁心。

内容

1、 在三角形ABC的外接圆⊙M中，另有一圆⊙O分别与其内切，并和AB,AC相切于D,P,Q，则PQ中点为三角形ABC的内心。

2、 在三角形ABC的外接圆⊙M外，另有一圆⊙O分别与其外切，并和AB,AC延长线相切于D,P,Q，则PQ中点为三角形ABC的旁心。

证明

当两圆内切时,过D作两圆外公切线上与B同侧一点为E，与C同侧一点为F

设PQ中点为I，连结AD,ID,MD,IC,MQ,AM(与PQ交于I),CD,DQ

可证得∠CDQ=∠ADQ=1/2∠ADC=1/2∠B,

三角形AMD∽三角形DMI,∠MID=∠MDA,∴∠PID=∠ADE=∠QCD,则IDCQ共圆，

∠ICQ=∠IDQ=∠IDM+∠MDQ=∠IDM+90度-∠DPQ=∠IDM+90度-(∠90度+∠MAD-∠PDA)=∠IDM-∠MAD+∠PDA=∠PDA=1/2∠BDA=1/2∠C

命题得证。

当两圆外切时，类似可证。