罗尔（Rolle）中值定理

罗尔中值定理的几何意义

范例解析

罗尔（Rolle）中值定理

如果函数f(x)满足以下条件：

①在闭区间[a,b]上连续，

②在(a,b)内可导，

③f(a)=f(b)，

则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0.

罗尔中值定理的几何意义

若连续曲线y=f(x)在区间[a,b]上所对应的弧段AB，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，且在弧的两个端点A,B处的纵坐标相等，则在弧AB上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于x轴。

范例解析

用罗尔中值定理证明:方程3ax^2+2bx-(a+b)=0在（0，1）内有实根.

设F(x)=ax^3+bx^2－(a+b)x，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，F(0)=F(1)=0，所以由罗尔中值定理，至少存在一点ξ∈(0,1)，使得F'(ξ)=0. F'(x)=3ax^2+2bx－(a+b)，所以3aξ^2+2bξ－(a+b)=0，所以ξ是方程方程3ax^2+2bx－(a+b)=0在（0，1）内的一个实根.

结论得证.