二面角：从一条直线出发的两个半平面叫做二面角。

定义(二面角 相关概念 记法)

求法(一般求法 法向量法 平行向量法 方程方法)

两平面垂直(定义 判定定理 性质)

定义

二面角

从一条直线出发的两个半平面叫做二面角。

相关概念

半平面：一个平面里的一条直线，把平面分成两部分，每一部分叫半平面。

棱：二面角的那条直线

面：其中的任意半平面。

记法

设两面为a,b棱为l，则二面角记为a-l-b；

设两面里各有一点A,B棱为CD，则二面角也可记为A-CD-B。

求法

一般求法

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面力分别作垂直与棱的射线，这两条射线所成的角叫做二棉角的平面角。即：设两面为a,b，棱为l,则所成的角y=∠AOB

其中A ∈a,AO⊥l,BO⊥l,O∈l,B∈b。

法向量法

设平面a,b的法向量为m,n且一个向上一个向下，则

a-l-b=<m,n>

cos(a-l-b)=cos<m,n>

cos(a-l-b)=|m*n|/|n||m|

平行向量法

有直线a,b分别平行于面γ,δ，且都垂直于棱l，设其方向向量为c,d，则二面角γ-l-δ等于

γ-l-δ=<c,d>

cos(γ-l-δ)=|c*d|/|c||d|

方程方法

设两平面a,b方程分别为ax+by+cz+d=0和a1x+b1y+c1z+d1=0

则其二面角的余弦值为(a*a1+b*b1+c*c1)/(a^2+b^2+c^2)^1/2(a1 ^2+b1 ^2+c1 ^2)^1/2。

两平面垂直

定义

如果两平面相交的二面角是直角，那么这两个平面垂直。

符号表示：a∩b=l,m⊂a,m⊥l,n⊥l,n⊂b,n⊥m->a⊥b

判定定理

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

符号表示： l⊂a,l⊥b-->a⊥b

证明：设a∩b=m,l∩m=O

∵l⊥b,m⊂b

∴l⊥m

在b里过O作n⊥m.

∵l⊥b,n⊂b

∴l⊥n

又n⊥m，

∴a⊥b

垂直于同一平面的相交平面垂直。

符号表示：a⊥y,b⊥y,a∩b=l-->a⊥b

证明：设y∩b=m,a∩y=n

根据定义得l⊥m,l⊥n

又a∩b=l,m⊂a,n⊂b

∴a⊥b

性质

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号表示：a⊥b,a∩b=l,m⊥l,m⊂a-->m⊥b

证明：设l∩m=O

在b内，过过O作n⊥m：

根据两平面垂直的定义得n⊥l。

∵n⊂b,m⊂b,n⊥l

∴n∩l=M.

∵n⊂b,l⊂b,n∩l=M,m⊥l,n⊥m

∴m⊥b

两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面。

符号表示：a⊥y,b⊥y,a∩b=l-->l⊥y

证明：设a∩y=n,b∩y=m

根据定理得a⊥b,

根据定义得l⊥n,l⊥m,n⊥m，

∵n⊂y,m⊂y,n⊥l

∴n∩l=M.

∵n⊂y,m⊂y,n∩l=M,m⊥l,n⊥l

∴l⊥y