| 词条 | 面积积分 |
| 释义 | § 面积积分 § 正文 假设 ƒ(z)是单位圆|z|<1内的解析函数，ƒ┡(z)是它的导数，那么积分 (1)称为ƒ在点z=eiθ处的面积积分(见)，这里δ是小于1的某个正数,Ωδ(θ)是由点eiθ引圆周Cδ(│z│=δ)的两条切线与Cδ上被两切点所截的、离eiθ较远的圆弧所围的区域。 积分(1)中的被积函数 是映射z→ƒ(z)的雅可比行列式,当ƒ(z)为一一映射时,可知(Sδ(ƒ)(θ))2正好是区域Ωδ(θ)在映射ƒ下的映像面积。面积积分的名字由此而来。 Sδ(ƒ)(θ)在某些点eiθ处，可能是无限的。但是,卢津为了研究一类解析函数的性质，证明了当 ƒ(z)∈h2，即 时,对于单位圆周上几乎所有的eiθ，面积函数Sδ(ƒ)(θ)都是有限的，并且 ， (2)式中ƒ(eiθ)是ƒ的边值函数；当ƒ(0)=0时,还成立下面的相反不等式 ， (3)式中Aδ是常数，决定于δ。 后来，J.马钦凯维奇和A.赞格蒙把上述定理又推广到函数类hp(p>0)，即满足条件 的圆内解析函数全体。 面积积分的重要性，还在于它本质上可以局部地刻画圆内解析函数ƒ 在边界z＝eiθ 处非切向极限的存在性。确切地说，除了一零测度集外，圆内解析函数ƒ 在边界z=eiθ处具有非切向极限的充分必要条件是 。这说明Sδ(ƒ)(θ)与ƒ的边界性质有着十分深刻的内在联系，因此它是表达圆内解析函数边界性质的一个重要工具。正是这一点，它在研究高维空间的hp理论时，发挥了非常重要的作用。 § 配图 § 相关连接 |
| 随便看 |
百科全书收录594082条中文百科知识，基本涵盖了大多数领域的百科知识，是一部内容开放、自由的电子版百科全书。