克罗内克（Kronecker，Leopold；1823～1891）

德国数学家。对代数和代数数论，特别是椭圆函数理论有突出贡献。1823年12月7日生于德国布雷斯劳附近的利格尼茨（现属波兰的莱格尼察），1891年12月29日卒于柏林。他1841年入柏林大学，1845年获博士学位。1861年经E.E.库默尔推荐，成为柏林科学院正式成员，并以此身份在柏林大学授课。1868年当选为巴黎科学院通讯院士。1880年任著名的“克雷尔杂志”的主编。1883年接替库默尔成为柏林大学教授，时年60岁。1884年成为伦敦皇家学会国外成员。

克罗内克最主要的功绩在于努力统一数论、代数学和分析学的研究。克罗内克的数学观对后世有极大影响。他主张分析学应奠基于算术，而算术的基础是整数。他的名言是：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作”，反映了他对当时的分析学持批判态度。他作为直觉主义的代表人物，还曾极力反对G.康托尔的集合论。

克罗内克（Kronecker，Leopold；1823～1891）定理

设θ为正无理数，α为实数，则对任给正数ε，都存在两个正整数m,n,使得

∣nθ-m+α∣<ε。

α=0的特殊情况称为狄利克雷定理。

矩阵的Kronecker乘法

对n×m阶矩阵A和p×q阶矩阵B，A和B的Kronecher乘法运算可定义为：

由上面的式子可以看出，Kronecker乘积A B表示矩阵A的所有元素与B之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B A则完全类似．A B和B A均为np×mq矩阵，但一般情况下A B B A．和普通矩阵的乘法不同， Kronecker乘法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求，Kronecker乘法的Matlab命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A和B：

A= B=

则由以下命令可以求出A和B的Kronecker乘积C：

A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B)

C =

1 3 2 2 6 4

2 4 6 4 8 12

3 9 6 4 12 8

6 12 18 8 16 24

作为比较，可以计算B和A的Kronecker乘积D，可以看出C、D是不同的：

A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron(B,A)

D =

1 2 3 6 2 4

3 4 9 12 6 8

2 4 4 8 6 12

6 8 12 16 18 24