词条 | 矩阵条件数 |
释义 | 矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积,即cond(A)=‖A‖·‖A-1‖,对应矩阵的3种范数,相应地可以定义3种条件数。 函数 cond(A,1)、cond(A)或cond(A) 是判断矩阵病态与否的一种度量,条件数越大矩阵越病态。 条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b,如果A的条件数大,b的微小改变就能引起解x较大的改变,数值稳定性差。如果A的条件数小,b有微小的改变,x的改变也很微小,数值稳定性好。它也可以表示b不变,而A有微小改变时,x的变化情况。 比如线性方程组 〔1 2 [x = [4 3.999 1] y] 7.999] 的解是(x,y)=(2,1), 而 〔1 2 [x = [4.001 3.999 1] y] 7.998] 的解是(x,y)=(-3.999,4.000) 可见b很小的扰动就引起了x很大的变化,这就是A矩阵条件数大的表现。 一个极端的例子,当A奇异时,条件数为无穷,这时即使不改变b,x也可以改变。奇异的本质原因在于矩阵有0特征值,x在对应特征向量的方向上运动不改变Ax的值。如果一个特征值比其它特征值在数量级上小很多,x在对应特征向量方向上很大的移动才能产生b微小的变化,这就解释了为什么这个矩阵为什么会有大的条件数,事实上,正规阵在二范数下的条件数就可以表示成 abs(最大特征值/最小特征值)。 |
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