| 词条 | 解析几何 |
| 释义 | 1 几何学分支解析几何系指借助坐标系，用代数方法研究集合对象之间的关系和性质的一门几何学分支，亦叫做坐标几何 ◎ 基本介绍解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。17世纪以来，由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了解析几何的建立，并被广泛应用于数学的各个分支。在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。作为变量数学发展的第一个决定性步骤，解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用。 ◎ 历史介绍十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。 1637年，法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作《方法论》，这本书的后面有三篇附录，一篇叫《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。 笛卡尔的《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。 从笛卡尔的《几何学》中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。 为了实现上述的设想，笛卡尔从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。 具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来。 解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。 在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。 费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道，他早在笛卡尔发表《几何学》以前，就已写了关于解析几何的小文，就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年，费尔马死后，他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。 笛卡尔的《几何学》，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，为开辟数学新园地做出了贡献。 ◎ 基本内容在解析几何中，首先是建立坐标系。如上图，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系xOy。利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系。除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。 坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的。 解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，……” ◎ 学科应用解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。 在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。 在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。 如椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。 总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。 运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；然后运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案。 坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题。先前被看作几何学中的难题，一旦运用代数方法后就变得平淡无奇了。坐标法对近代数学的机械化证明也提供了有力的工具。 圆锥曲线 希腊著名学者梅内克缪斯（公元前4世纪）企图解决当时的著名难题“倍立方问题”（即用直尺和圆规把立方体体积扩大一倍）。他把直角三角形ABC的直角A的平分线AO作为轴。旋转三角形ABC一周，得到曲面ABECE'，如图1。用垂直于AC的平面去截此曲面，可得到曲线EDE'，梅内克缪斯称之为“直角圆锥曲线”。他想以此在理论上解决“倍立方问题。”未获成功。而后，便撤开“倍立方问题”，把圆锥曲线做为专有概念进行研究：若以直角三角形ABC中的长直角边AC为轴旋转三角形ABC一周，得到曲面CB'EBE'，如图2。用垂直于BC的平面去截此曲面，其切口为一曲线，称之为“锐角圆锥曲线”；若以直角三角形ABC中的短直角边AB为轴旋转三角形ABC一周，可得到曲面BC'ECE'。如图3。用垂直于BV的平面去截此曲面，其切口曲线EDE'称为“钝角圆锥曲线”。当时，希腊人对平面曲线还缺乏认识，上述三种曲线须以“圆锥曲面为媒介得到，因此，被称为圆锥曲线的“雏形”。 ◎ 分支学科算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学、函数等 2 尤承业著解析几何教材◎ 基本信息书名：《解析几何》 作者：尤承业 ISBN：9787301045800 页数：312出版社： 北京大学出版社 装帧：平装 出版年：2004-01-01 ◎ 内容简介简介：本书是学习几何学的入门教材。书中既讲解了空间解析几何的基本内容和方法（向量代数，仿射坐标系，空间的直线和平面，常见曲面等），等讲解了仿射几何学中的基本内容和思想（仿射坐标变换，二次曲线的仿射理论，仿射变换和保距变换等），还介绍了射影几何学中的基本知识，较好地反映了几何学课程的全貌。全书共分五章，每章内都附有一定数量的习题，书末附有习题答案和提示，便于读者深入学习或自学。本书突出几何思想的教育，强调形与数的结合；方法上强调解析法和综合法并重；内容编排上采用“实例－理论－应用”的方式，具体易懂；内容选取上兼顾各类高校的教学情况，具有广泛的适用性。本书表达通顺，说理严谨，阐述深入浅出。因此，本书是一本颇具特色、为广大高校欢迎的解析几何课程教材。本书可作为综合性大学和师范类大学数学系、物理系等相关学科的教材，对于那些对几何学有兴趣的大学生和其他读者也是一本适宜的课外读物或参考书。 3 秦衍著解析几何教材◎ 图书信息书 名: 解析几何 作 者：秦衍 出版社： 华东理工大学出版社 出版时间： 2010年4月1日 ISBN: 9787562825197 开本： 16开 定价: 28.00元 ◎ 内容简介《解析几何》共分六章，主要论述了向量代数、空间的平面和直线、常见曲面、二次曲面的一般理论、正交变换与仿射变换、平面射影几何简介以及行列式与矩阵、MATLAB绘图入门等内容。《解析几何》的特色在于以解析几何的基本思想方法为主线，注重几何图形与代数方程的结合，既有利用代数方法分析和处理几何问题，又有按几何图形对代数方程分类。 《解析几何》可作为高等院校数学类专业课程教材，也可作为高等数学、数学分析教学的参考用书。 ◎ 图书目录第1章 向量代数 1.1 向量及其线性运算 1.2 仿射坐标和直角坐标 1.3 向量的内积 1.4 向量的外积 1.5 向量的混合积 第2章 空间的平面和直线 2.1 平面方程 2.2 直线方程 2.3 点、直线和平面之间的度量关系 第3章 常见曲面 3.1 球面和旋转面 3.2 柱面和锥面 3.3 二次曲面 3.4 直纹面 3.5 曲面的交线，曲面所围成的区域 第4章 二次曲面的一般理论 4.1 空间坐标变换 4.2 二次曲面的化简 4.3 二次曲面的分类 4.4 二次曲面的不变量 4.5 二次曲面的中心与渐近万向 4.6 二次曲面的主径面、奇向 4.7 二次曲面的切平面 4.8 平面二次曲线 第5章 正交变换和仿射变换 5.1 变换与变换群 5.2 正交变换 5.3 仿射变换 第6章 平面射影几何简介 6.1 射影平面 6.2 对偶原理 6.3 射影变换与射影坐标系 6.4 交比 附录1 行列式与矩阵 附录2 MATLAB绘图入门 习题答案 参考文献 4 高孝忠、罗淼图书◎ 图书信息书名：解析几何 ISBN：9787302265955 作者：高孝忠、罗淼 定价：19元 出版日期：2011-9-1 出版社：清华大学出版社 ◎ 图书简介本书主要介绍空间解析几何的内容. 全书共5章，第1章给出向量的概念与运算，第2章给出轨迹与方程的关系，第3章讨论空间中最简单的形--平面与直线，第4章讨论常见的曲面，第5章给出二次平面曲线的一般理论. 书中立体图大多采用彩色插图，立体感强，易于理解，更便于教与学. 本书根据多年的教学经验编写，可作为高等院校“解析几何”课程的教材. ◎ 前言17世纪，笛卡儿引进了坐标，从而开创了几何学的新局面，甚至可以说开创了数学的新局面，因为微积分的发现就深受其影响，且坐标的出现让“仿射几何”、“黎曼几何”等相继问世. 坐标引入的实质就是用“数”去描述“形”，如今的“量化管理”就源于这种思想. 所以我们可以说，解析几何是一门用“数”去描述“形”和用“形”解释“数”的学科. 坐标的雏形是“不同方向的线段长”. 后来经数学家们的改造，用“向量法”引入坐标，这让我们站在一个新的高度去认识它，即“坐标是极大线性无关向量组的表出系数构成的有序数组”. 如今解析几何已是大学的必修课程. 在“普及教育”而不是“精英教育”的今天，我们要让每一个学生都掌握数学的思想与方法，就必须让学生处于“数”与“形”的两个角度去认识同一个对象. 就连“向量”这个联系“数”与“形”的工具也不例外，本书给出了3个解释，即： (1) 初浅解释： 具有大小和方向的量； (2) “形”的解释： 有向线段； (3) “数”的解释： 有序数组. 对于向量的运算，如加、数乘、内积、外积等，也不例外. 只有解析几何这样，才能使学生不会产生“瞎子描象”的片面认识. 本书是根据多年的教学经验，为师范院校数学专业“解析几何”课编写的教材. 解析几何的教材很多，各有春秋，本书有如下的特点. (1) 宗旨： 采用通俗易懂的语言. 林群院士说： “深奥的东西，能说你懂了，以什么为标准呢？那就是看你能否用粗浅的语言去描述. ”本书的编写以此为宗旨，语言通俗易懂，学生喜闻乐见，容易接受. (2) 题材： 采用抽象与应用相结合. 应用体现理论与实际的联系. 知道了抽象的过程，就知道应用的方法. 对每一个抽象的概念，都给出其引入的情境，告知抽象的过程和应用的方法. (3) 内容： 采用严密要求下的解释. 严密的逻辑推理，是数学的基本要求之一. 本书注重引导学生能从简单的解释达到严密的论证，掌握数学思维方法，培养逻辑推理能力. (4) 形式： 采用立体彩图，图文并茂. 进入新世纪，教材的版面设计水平不断提高，讲求实用、有特色和创新，注重图文并茂. 本书较之该学科教材一贯采用黑白立体图有了突破，对于书中立体图形大多采用彩色插图，直观、空间感强，立体效果更好，对培养学生空间想象能力大有帮助. 而且图形配合恰当，易于理解，更有利于教与学. (5) 教学： 配备多媒体教学课件. 本书的每一章节都有多媒体课件(教学光盘). 课件中的教学情境设置得当，动图效果生动，在教学实践中得到同行教师与学生的好评. 本书在编写、修订过程中，得到了贵州师范大学数学与计算机科学学院的大力支持. 清华大学出版社编辑刘颖、贵州师范大学的游泰杰教授，对本书的修订提出了很多宝贵的意见，特在此对他们表示诚挚的感谢. 高孝忠 罗 淼2011年6月 ◎ 目录目 录第1章 坐标系与向量1 1.1 坐标系与向量的概念1 习题1.15 1.2 向量的线性运算5 习题1.210 1.3 三元线性方程组与行列式11 习题1.316 1.4 向量组的线性关系17 习题1.423 1.5 标架与坐标24 习题1.529 1.6 两向量的数量积30 习题1.635 1.7 数量积的坐标表示35 习题1.739 1.8 两向量的向量积40 习题1.845 1.9 三向量的混合积46 习题1.951解析几何目录 1.10 三向量的双重向量积51 习题1.1054 第2章 轨迹与方程55 2.1 平面曲线的方程55 习题2.161 2.2 曲面的方程62 习题2.267 2.3 空间曲线的方程68 习题2.371 第3章 平面与空间直线72 3.1 平面的方程72 习题3.178 3.2 平面与点、平面与平面的相关位置79 习题3.284 3.3 空间直线的方程85 习题3.390 3.4 直线与平面、直线与点的相关位置91 习题3.495 3.5 空间两直线的相关位置95 习题3.5100 3.6 平面束101 习题3.6105 第4章 常见的曲面106 4.1 柱面106 习题4.1112 4.2 锥面113 习题4.2118 4.3 旋转曲面118 习题4.3123 4.4 椭球面124 习题4.4127 4.5 双曲面128 习题4.5132 4.6 抛物面133 习题4.6136 4.7 直纹面137 习题4.7143 4.8 数学制图143 习题4.8151 第5章 二次曲线的一般理论152 5.1 二次曲线的基本概念152 习题5.1158 5.2 二次曲线的切线158 习题5.2162 5.3 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线163 习题5.3167 5.4 二次曲线的直径167 习题5.4173 5.5 二次曲线的主直径与主方向173 习题5.5178 5.6 二次曲线的方程的化简与分类178 习题5.6193 参考文献194 第1章 坐标系与向量1 1.1 坐标系与向量的概念1 习题1.15 1.2 向量的线性运算5 习题1.210 1.3 三元线性方程组与行列式11 习题1.316 1.4 向量的线性关系17 习题1.423 1.5 标架与坐标24 习题1.529 1.6 两向量的数量积29 习题1.635 1.7 数量积的坐标表示35 习题1.739 1.8 两向量的向量积40 习题1.845 1.9 三向量的混合积45 习题1.950解析几何目录 1.10 三向量的双重向量积51 习题1.1054 第2章 轨迹与方程55 2.1 平面曲线的方程55 习题2.161 2.2 曲面的方程62 习题2.267 2.3 空间曲线的方程68 习题2.371 第3章 平面与空间直线72 3.1 平面的方程72 习题3.178 3.2 平面与点、平面与平面的相关位置79 习题3.283 3.3 空间直线的方程84 习题3.389 3.4 直线与平面和点的相关位置90 习题3.494 3.5 空间两直线的相关位置94 习题3.5100 3.6 平面束101 习题3.6104 第4章 常见的曲面105 4.1 柱面105 习题4.1111 4.2 锥面112 习题4.2117 4.3 旋转曲面117 习题4.3122 4.4 椭球面123 习题4.4126 4.5 双曲面127 习题4.5131 4.6 抛物面132 习题4.6135 4.7 直纹面136 习题4.7142 4.8 数学制图142 习题4.8150 第5章 二次曲线的一般理论151 5.1 二次曲线的基本概念151 习题5.1157 5.2 二次曲线的切线157 习题5.2161 5.3 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线162 习题5.3166 5.4 二次曲线的直径166 习题5.4172 5.5 二次曲线的主直径与主方向172 习题5.5177 5.6 二次曲线的方程的化简与分类177 习题5.6192 参考书193 |
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