共轭双曲线的定义及性质(定义 性质)

特殊的双曲线

共轭双曲线的定义及性质

定义

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线．

性质

共轭双曲线有共同的渐近线；

共轭双曲线的四个焦点共圆．

例 过双曲线的一个顶点的切线交共轭双曲线于两点，求证：过交点所作共轭双曲线的两切线必通过原双曲线的另一顶点点A′．

方程：x2/a2-y2/b2=1与y2/b2-x2/a2=1互为共轭双曲线。

特殊的双曲线

有两种特殊的双曲线，它们有一些特殊的性质。

一类是等轴双曲线。其主要性质有：a=b，离心率为根号2，两条渐近线互相垂直，等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。

另一类是共轭双曲线，其主要性质有：它们有共同的渐近线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等于1。

等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形。有两支曲线：而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方程各对应两支曲线。等轴双曲线也有它的共轭双曲线。