概述

性质

Hermite序列

概述

共轭矩阵又称Hermite阵、埃尔米特矩阵。Hermite阵中每一个第i 行第j 列的元素都与第j 行第i 列的元素的共轭相等。埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称, 即是 ai,j=a*j,i。

对于

<math>A = \\{ a_{i,j} \\} \\in C^{n \\times n} </math>

有：

<math>a_{i,j} = \\overline{a_{j,i}}</math>，其中<math>\\overline{(\\cdot)}</math>为共轭算符。

记做：

<math> A = A^H \\quad </math>

例如：

<math>\\begin{bmatrix}

3&2+i\\\\ 2-i&1 \\end{bmatrix}</math>

就是一个Hermite阵。

显然，Hermite阵主对角线上的元素必须是实数。对于只包含实数元素的矩阵（实矩阵），如果它是对称阵，即所有元素关于主对角线对称，那么它也是Hermite阵。也就是说，实对称阵是Hermite阵的特例。

性质

若A 和B 是Hermite阵，那么它们的和A+B 也是Hermite阵；而只有在A 和B满足交换性（即AB = BA）时，它们的积才是Hermite阵。

可逆的Hermite阵A 的逆矩阵A-1仍然是Hermite阵。

如果A是Hermite阵，对于正整数n，An是Hermite阵.

方阵C 与其共轭转置的和<math>C + C^*</math>是Hermite阵.

方阵C 与其共轭转置的差<math>C - C^*</math>是skew-Hermite阵。

任意方阵C 都可以用一个Hermite阵A 与一个skew-Hermite阵B的和表示:

<math>C = A+B \\quad\\mbox{with}\\quad A = \\frac{1}{2}(C + C^*) \\quad\\mbox{and}\\quad B = \\frac{1}{2}(C - C^*).</math>

Hermite阵是正规阵，因此Hermite阵可被酉对角化，而且得到的对角阵的元素都是实数。这意味着Hermite阵的特征值都是实的，而且不同的特征值所对应的特征向量相互正交，因此可以在这些特征向量中找出一组Cn的正交基。

n阶Hermite方阵的元素构成维数为n2的实向量空间，因为主对角线上的元素有一个自由度，而主对角线之上的元素有两个自由度。

如果Hermite阵的特征值都是正数，那么这个矩阵是正定阵，若它们是非负的，则这个矩阵是半正定阵。

Hermite序列

Hermite序列（抑或Hermite向量）指满足下列条件的序列ak（其中k = 0, 1, …, n）：

<math> \\Im(a_0) = 0 \\quad \\mbox{and} \\quad a_k = \\overline{a_{n-k}} \\quad \\mbox{for } k=1,2,\\dots,n. </math>

若n 是偶数，则an/2是实数。

实数序列的离散傅里叶变换是Hermite序列。反之，一个Hermite序列的逆离散傅里叶变换是实序列。