概述

割线定理(定义 英文名称 相关及证明 概述 证明 比较)

切割线定理(定理 几何语言： 证明 比较)

解析函数的割线

概述

一条直线与一条弧线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线。 与割线有关的定理有：割线定理、切割线定理。

割线定理

定义

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

从圆外一点P引两条割线与圆分别交于C,B,D,E,则有 PC·PB=PD·PE。如下图所示。(PA是切线）

英文名称

Secant Theorem

相关及证明

概述

割线定理为圆幂定理之一，其他二为：

切割线定理

相交弦定理

证明

如图直线PB和PE是自点P引的⊙O的两条割线，则PC·PB=PD·PE.

证明:连接CE、DB

∵∠E和∠B都对弧CD

∴由圆周角定理，得 ∠E=∠B

又∵∠EPC=∠BPD

∴△PCE∽△PDB

∴PC:PD=PE:PB, 也就是PC·PB=PD·PE.

比较

割线定理与相交弦定理，切割线定理通称为圆幂定理。

切割线定理

定理

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。

几何语言：

∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线

∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

几何语言：

∵PBA，PDC是⊙O的割线

∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）

由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD

证明

切割线定理证明:

设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB

证明：连接AT, BT

∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)

∠P=∠P(公共角)

∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)

则PB：PT=PT：AP

即：PT^2=PB·PA

比较

相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。一般用于求直线段长度。

解析函数的割线

人们研究复数域上的解析函数时,常常需要研究函数在整个复平面的性质.然而,有些解析函数定义在复平面上时,表现出多值的性质,这样的函数往往从一个点经过某些曲线回到这个点时,解析变化的函数值会跑到多值中另外的值上面.这样的函数一方面可以采用黎曼曲面作为定义域,使得函数变为单值,另一方面,也可人为地在复平面上画上一条线将复平面合适地割开,使得未被割开的区域内具有单值解析函数的良好性质.这样的人为划出的避免函数解析变化必然出现多值的线就叫割线.