数学中利用现代数理逻辑把通常实数结构扩张为包括无穷小数与无穷大数的结构而形成的一个新分支。

简介

发展

历史

简介

非标准分析

non-standard analysis

美国数理逻辑学家A.鲁宾逊于1960年创立。鲁宾逊证明，实数结构R可扩张为包含无穷小数和无穷大数的结构R*，在一定意义下R*与R有相同的性质。称R*中的数为超实数，形象地说，是在普通实数中又加进了无穷小数（其绝对值小于任何实数）及无穷大数（其绝对值大于任何实数）。当两个超实数α与β相差为无穷小时，就称α无限接近于β，记为α≈β ，这是一个等价关系。每个关于这个等价关系的等价类包含唯一的标准实数a。称a所在的等价类μ（ a）为一个单子，单子不是R*中的数，而相当于R中的数，超实数可以进行四则运算，满足通常的运算规律，也可以有大小顺序。由此标准分析里的许多概念、定理等可以自然地扩张到非标准分析中。如区间〔a，b〕扩张为〔a，b〕*，R中的函数扩张为f（x）*，函数f（x）在标准点x0连续可定义为x≈x0时，f（x）≈* f（x0）*；函数f（x）在〔a，b〕上一致连续可定义为当x′≈x″，x′，x″∈〔a，b〕*时f（x′）*≈f（x″）*。像这样在R上展开的数学分析理论称为非标准分析，通常的数学分析则称为标准分析。非标准分析的一个重要定理是转换定理：每个关于R可形式化的命题，如果对R成立，则经过适当解释（即把R中的对象解释为R*中相应的对象 ）对R*也成立，反之亦然。因此也可以说，利用R和R*互相转换来研究数学分析的方法，称为非标准分析。

非标准分析使无穷小获得新生。在微积分发明的时期，I.牛顿，特别是G.W.莱布尼兹使用无穷小方法，在一阶和高阶无穷小基础上，发展起微积分理论。因它不严格而倍遭非难。A.L.柯西和K.魏尔斯特拉斯等使微积分奠基于极限理论上，数学分析由此臻于严密但失去了无穷小算法的简明与直观。鲁宾逊用数理逻辑方法严谨地论证了无穷小的存在性，重新用它来刻画微积分。这不仅能表现状态，还能表明过程，直观而简洁。非标准分析一经问世便得到迅速发展，并用它解决了许多问题。从方法论上来说，还能将过去一些深刻结果的证明加以简化。

发展

非标准分析发展很快，已有群论、非标准泛函分析等。它有不少应用。凡是对某类数学对象，用类似于上述的扩张来研究的都可称为非标准分析。

历史

在17世纪微积分学的初创时期，人们就注意到这门学科的基础问题。I.牛顿和莱布尼茨都曾使用过无穷小，尤其是莱布尼茨及其跟随者，在一阶和高阶无穷小的基础上，发展了微积分理论；他们完全允许引进无穷小和无穷大,而且把它们看做是类似于虚数的理想元素,这些理想元素服从于普通实数的定律。他们所用的记号，在欧洲大陆上被广泛采用。这些记号的优越性，促进了当时微积分理论在欧洲大陆上迅速发展。因此，鲁宾孙把莱布尼茨视为非标准分析的真正先驱者。但是这个理论却存在着显著的内在矛盾──有时把无穷小看作非零而作除数,有时又把它看作是零而舍去。局限于当时的条件，这个矛盾一时还不能彻底解决，难免受到非难和攻击。英国的主观唯心主义哲学家B.贝克莱(1685～1753)主教在1734年著文攻击无穷小为“消失了的量的幽灵”。直到19世纪,A.-L.柯西、B.波尔查诺和K.（T.W.）外尔斯特拉斯用极限理论为数学分析建立了逻辑上严谨的基础，从而促进了数学分析的大发展。此后，无穷小和无穷大在分析学中就再也没有地位，只剩下了诸如“某变量趋于无穷大”这一类的说法而已。极限理论虽然使得数学分析获得了逻辑的严谨性，但是却失去了无穷小方法的简明性和直观性。正因为无穷小方法便于缩短论证,“更合于发明家的艺术”,所以直到今天,许多物理学家、经济学家和工程师仍习惯于运用无穷小方法。然而，数学家们却认为在数学分析中作为数的无穷小是不存在的。直到20世纪60年代，鲁宾孙运用数理逻辑严谨地论证了无穷小的存在性，圆满地解决了莱布尼茨的“无穷小的矛盾”的问题，开创了非标准分析。接着W.卢森堡用超幂方法构造了非标准模型，以后又构造了多饱和模型。此后，非标准分析发展很快，现在已成功地应用到许多方面，如点集、拓扑学、测度论、函数空间、概率论、微分方程、代数数论、流体力学、量子力学、理论物理和数理经济等。非标准分析为具有众多的小额贸易的商业市场提供了一个很好的模型。还有，它对模拟一个在边界为无穷大的容器中的压力下进行气体的热力学过程是很有成效的。非标准分析对某些学科中出现的一些困难问题已经作出有益的贡献。例如，用非标准分析方法首先解决了几十年未解决的希尔伯特空间上的多项式紧算子的不变子空间的存在问题；又如，中国数学家用非标准分析方法给出了解决广义函数的乘法问题的一个富有成效的方法；再如，法国数学家对常微分方程的奇异摄动已做出了大量很有意义的成果。还须指出，除非标准分析外，使得无穷小与无穷大能在分析学中使用的还有种种尝试。在这方面最有成效的有D.劳格维茨的无穷小数和中国学者提出的广义数的研究。