定义

二面角的平面角

二面角的大小范围

二面角的求法

二面角与平面角的关系

定义

平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面).

二面角的平面角

以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

二面角的大小范围

0≤θ≤π（二面角不小于0°，不大于180°）

既然是空间立体图形，那么可以将180°～360°的另一边看成0°～180°。

二面角的求法

作二面角的平面角的常用方法有六种：

1.定义法 ：在棱上取一点，然后再两个平面内分别作棱的垂线。有时也可以在两个平面内分别作棱的垂线，再过其中的一个垂足作另一条垂线的平行线。

2.垂面法 ：作与棱垂直的平面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角

3.射影定理

4.三垂线定理及其逆定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。

5.向量法

6.转化法

其中，（1）、（2）点主要是根据定义来找二面角的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形。

二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。过这个点分别在两平面做相交线的垂线，然后把两条垂线放到一个三角形中考虑。有时也经常做两条垂线的平行线，使他们在一个更理想的三角形中。

由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。运用这一方法的关键是从图中找出斜面多边形和它在有关平面上的射影，而且它们的面积容易求得

也可以用解析几何的办法，把两平面的法向量n1,n2的坐标求出来。然后根据n1·n2=|n1||n2|cosα，θ=α为两平面的夹角。这里需要注意的是如果两个法向量都是垂直平面，指向两平面内，所求两平面的夹角θ=π-α

求二面角大小的基本步骤

（1）作出二面角的平面角：

A：利用等腰(含等边)三角形底边的中点作平面角；

B：利用面的垂线（三垂线定理或其逆定理）作平面角；

C：利用与棱垂直的直线，通过作棱的垂面作平面角；

D：利用无棱二面角的两条平行线作平面角。

（2）证明该角为平面角；

（3）归纳到三角形求角。

另外，也可以利用空间向量求出。

利用空间向量：（设二面角平面角为A）

1）先建立直角坐标系，求出个点坐标；

2）设面S1的法向量为N(X1，Y1，Z1)，面S2法向量为M(X2，Y2，Z2)；

3）在S1内找两条线L1，L2，让N×L1=0，N×L2=0求出N的坐标，M也是如此求出；

4）然后利用cosA=N×M/|N|×|M|即可求出A的值（注：由图观察二面角是锐角还是钝角，而且看求出的cosA是正值还是负值。若二面角是锐角，则cosA的值应为正，反之则然。）

二面角与平面角的关系

二面角的大小就用它的“平面角”来度量。二面角的平面角大小数值就等于二面角的大小。