二次函数（quadratic function）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

定义

二次函数的解法(一、函数上的三个点 三、韦达定理解方程 一般式 顶点式 交点式)

与X轴交点

求根公式

图像(轴对称 顶点 开口 决定对称轴位置的因素 决定与y轴交点的因素 与x轴交点个数 特殊值的形式 二次函数的性质)

两图像对称

与一元二次方程

如何学习二次函数(技巧 中考典题)

定义

一般地，我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

注意：“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。

二次函数的解法

一、函数上的三个点

可设函数为y=ax^2+bx+c（a≠0），把三个点代入式子得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。二、知道函数图象与x轴的交点坐标及另一点函数上的点　可设函数为y=a(x-x₁)(x-x₂)，把第一个交点的x值代入x₁中，第二个交点的x值代入x₂中，把另一点的值代入x、y中求出a。

三、韦达定理解方程

韦达定理一元二次方程即

设ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)

两个根为X₁和X₂

则X₁+X₂= -b/a

X₁·X₂=c/a

例：已知顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，设y=a(x-1)^2+2,把（3，10）代入上式，解得y=2(x-1)^2+2

四、牛顿插值公式y=(y₃(x-x₁)(x-x₂))/((x₃-x₁)(x₃-x₂)+(y₂(x-x₁)(x-x₃))/((x₂-x₁)(x₂-x₃)+(y₁(x-x₂)(x-x₃))/((x₁-x₂)(x₁-x₃)。由此可引导出交点式的系数a=y₁/(x₁·x₂)(y₁为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

一般式

y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为（-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

证明:假设X=1 ，y=a+b+c , X=-1,y=a-b+c

顶点式

y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

交点式

y=a(x-x₁)(x-x₂) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x₁，0）和 B（x₂，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0]

由一般式变为交点式的步骤：

∵X₁+x₂=-b/a x1·x₂=c/a

∴y=ax^2+bx+c

=a（x₂+b/ax+c/a）

=a[﹙x₂-(x₁+x₂)x+x₁x₂]=a(x-x₁)(x-x₂)

重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

与X轴交点

当△=b^2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。

当△=b^2-4ac=0时，函数图像与x轴有一个交点。

当△=b^2-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。

求根公式

x是自变量，y是因变量，y是x的二次函数

x1,2=[-b±(√(b^2-4ac)]/2a

(即一元二次方程求根公式）（如右图）

求根的方法还有因式分解法和配方法

图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，

可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。

注意：草图要有 :

1. 本身图像，旁边注明函数。

2. 画出对称轴，并注明直线X=什么 （X= -b/2a）

3. 与X轴交点坐标 （x1,y1);(x2, y2)，与Y轴交点坐标(0,c)，顶点坐标(-b/2a, (4ac-b^2/4a).

轴对称

1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h或者x=-b/2a

对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）

a,b同号，对称轴在y轴左侧

b=0,对称轴是y轴

a,b异号，对称轴在y轴右侧

顶点

二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )

当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)&sup2;;+k

h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a

开口

二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

决定对称轴位置的因素

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号

当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的

斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

决定与y轴交点的因素

常数项c决定二次函数图像与y轴交点。

二次函数图像与y轴交于（0,C）

注意：顶点坐标为（h,k) 与y轴交于（0,C)

与x轴交点个数

a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。

k=0时，二次函数图像与x轴有1个交点。

a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点。

当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x<h范围内是减函数，在x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k

当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x>h范围内是增函数，在x<h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下，函数的值域是y<k

当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数

特殊值的形式

7.特殊值的形式

①当x=1时 y=a+ah2+2ah+k

②当x=-1时 y=a+ah2-2ah+k

③当x=2时 y=4a+ah2+8ah+k

④当x=-2时 y=4a+ah2-8ah+k

二次函数的性质

8.定义域：R

值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）

奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 。

周期性：无

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；

⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b&sup2;)/4a）；

⑷Δ=b2-4ac,

Δ>0，图象与x轴交于两点：

（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

Δ=0，图象与x轴交于一点：

（-b/2a，0）；

Δ<0，图象与x轴无交点；

特殊地，Δ=4，顶点与两零点围成的三角形为等腰直角三角形；Δ=12，顶点与两零点围成的三角形为等边三角形。

②y=a(x-h)2+k[顶点式]

此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a

③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）

对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X

的增大而减小

此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连

用）。

交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。

增减性

当a>0且y在对称轴右侧时，y随x增大而增大，y在对称轴左侧则相反

当a<0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧则相反

两图像对称

对于一般式：

①y=ax^2+bx+c与y=ax^2-bx+c两图像关于y轴对称

②y=ax^2+bx+c与y=-ax^2-bx-c两图像关于x轴对称

③y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx+c-2b^2*|a|/4a^2关于顶点对称

④y=ax^2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称。

对于顶点式：

①y=a(x-h)^2+k与y=a(x+h)^2+k两图像关于y轴对称，即顶点（h,k）和（－h,k）关于y轴对称，横坐标相反，纵坐标相同。

②y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2-k两图像关于x轴对称，即顶点（h,k）和（h,－k）关于y轴对称，横坐标相同，纵坐标相反。

③y=a(x-h)^2+k与y=-a(x-h)^2+k关于顶点对称，即顶点（h,k）和（h,k）相同，开口方向相反。

④y=a(x-h)^2+k与y=-a(x+h)^2-k关于原点对称，即顶点（h,k）和（－h,－k）关于原点对称，横坐标相反，纵坐标相反。

（其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况）

与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax^2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2;+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

解析式 顶点坐标 对 称 轴

y=ax^2(0，0) x=0

y=ax^2+K (0，K) x=0

y=a(x-h)^2(h，0) x=h

y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h

y=ax^2+bx+c (-b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a

当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k>0）的图象

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k<0）的图象

当h<0,k>0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k>0）的图象

当h<0,k<0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k<0）的图象

在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。

因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。

2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。

3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。

4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x1-x2| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。

5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0)。

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。

如何学习二次函数

技巧

1.要理解函数的意义。

2.要记住函数的几个表达形式，注意区分。

3.一般式，顶点式，交点式，等，区分对称轴，顶点，图像，y随着x的增大而减小（增大）等的差异性。

4.联系实际对函数图像的理解。

5.计算时，看图像时切记取值范围。

6.随图像理解数字的变化而变化。 二次函数考点及例题

二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。

中考典题

1．( 北京东城区)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：

甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．

请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：　．

考点：二次函数y=ax2+bx+c的求法

评析：设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，且设x1<x2，则其图象与x轴两交点分别是A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴交点坐标是(0，ax1x2). 『因为交点式a(x-x1)(x-x2),又因为与y轴交点的横坐标为0，所以a(0+x1)(0+x2),也就是ax1x2

∵抛物线对称轴是直线x=4，

∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8　① ∵S△ABC=3，∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 6，

即：x2- x1=　②

①②两式相加减，可得：x2=4+，x1=4-

∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。

当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=± 1

当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=± 1

因此，所求解析式为：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)

即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3

说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A(5，0)，B(3，0)。再由题设条件求出a，看C是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。

解析法二： 猜测法

假设以原点标记为O（0，0）点，抛物线与Y轴交点为C（0，c），A(x1,0）， B(x2,0），则S△ABC=3，即是1/2·OC·AB=3,OC·AB=6=c·（x2-x1)（即是三角形的底乘以高等于6，而底是AB的距离，高为OC的距离，由条件乙、条件丙可知，三角形的底和高均为整数，即使A、B两点到对称轴的距离均相等且为整数，6=2*3=6*1，可知只可能有两种情况（1）AB间距离为2且高OC 为3，（2）AB间距离为6，高OC为1，便可简单解析出，当然后面需添加验证步骤。

2．( 安徽省)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0<x<30)。y值越大，表示接受能力越强。

(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

(2)第10分时，学生的接受能力是什么？

(3)第几分时，学生的接受能力最强？

考点：二次函数y=ax2+bx+c的性质。

评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13)2+59.9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x<13时，y随x的增大而增大，当x>13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0<x<30，所以两个范围应为0<x<13；13<x<30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下：

解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)^2+59.9

所以，当0<x<13时，学生的接受能力逐步增强。

当13<x<30时，学生的接受能力逐步下降。

(2)当x=10时，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。

所以，第10分时，学生的接受能力为59。

(3)x=13时，y取得最大值，

所以，在第13分时，学生的接受能力最强。

3．( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；

(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

解：(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月销售利润为

:(55–40)×450=6750(元)．

(2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是：(x–40)元，所以月销售利润为：

y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x^2+1400x–40000(元)，

∴y与x的函数解析式为：y =–10x^2+1400x–40000．

(3)要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，

即：x2–140x+4800=0，

解得：x1=60，x2=80．

当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–(60–50)×10=400(千克)，月销售成本为：

40×400=16000(元)；

当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–(80–50)×10=200(千克)，月销售单价成本为：

40×200=8000(元)；

由于8000<10000<16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．

5．2006义乌市经济继续保持平稳较快的增长态势，全市实现生产总值Y元，已知全市生产总值=全市户籍人口×全市人均生产产值，设义乌市2006年户籍人口为x（人），人均生产产值为y（元）．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）2006年义乌市户籍人口为706 684人，求2006年义乌市人均生产产值（单位：元，结果精确到个位）：若按2006年全年美元对人民币的平均汇率计（1美元=7.96元人民币），义乌市2006年人均生产产值是否已跨越6000美元大关？

6．(北京西城区)抛物线y=x2-2x+1的对称轴是(　) (A)直线x=1　(B)直线x=-1　(C)直线x=2　(D)直线x=-2 考点：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴． 评析：因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是：x=-b/2a，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项A正确． 另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1)2，所以对称轴x=1，应选A．

7..某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，图中的二次函数图像（部分）刻画了了该公司年初以来累计利润s（万元）与销售时间t(月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.

根据图像提供的信息，解答下列问题：

（1）由已知图像上的三点坐标，求累计利润s(万元）与销售时间t（月）之间的函数表达式;

(2)求截止到几月末公司累计利润可达30万元

(3)求第8个月公司所获利润是多少万元。

（^2代表平方，*代表乘号）

解：（1）设函数关系试为S=at2+bt+c

因为S=at2+bt+c经过（1，-1.5）（2，-2）（5，2.5）

所以-1.5=a+b+c

-2=4a+2b+c

2.5=25a+5b+c

解得a=1/2

b=-2

c=0

所以函数关系式为S=1/2t2-2t

(2)将S=30代入关系式得30 =1/2t2-2t 解得t1=10 t2=-6（舍去）

(3)将t=8代入关系式得S=1/2*64-2*8=16

利用以上方法求解析式

①一般式：根据y=ax2+bx+c将（a,b）（c,d）（m,n）同时带入y=ax2+bx+c可得解析式

②顶点式：y=a（x-h）+k ,h为顶点横坐标，k为顶点的纵坐标将顶点和一个任意坐标带入顶点式后化简可得解析式

③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) -x1 -x2为与x轴的交点横坐标 将x1 x2带入交点式 再带入任意一个坐标 可得交点式化简后可得解析式1.二次函数的图像经过A(1,1),B(-1,7)C(2,4)三点，求二次函数的解析式。

解法：将A、B、C三点代入方程得a+b+c=1，a-b+c=7,4a+2b+c=4 解得a=2,b=-3,c=2

2.已知当x=2是，函数有最小值为3，且过点（1,5），求二次函数解析式。

解法：∵x=2时，函数有最小值为3，∴h=2,c=3，∵过点（1,5）∴5=a(1-2)&sup2;+3 解得a=2，∴二次函数方程为y=2（x-2)&sup2;+3。

3.二次函数的图像经过点（3，-8）对称轴为直线x=2，抛物线与X轴两个交点之间的距离为6，求二次函数解析式。

解法：3.∵二次函数对称轴为直线x=2，抛物线与X轴两个交点之间的距离为6，∴抛物线与X轴两个交点的坐标为（-1,0），（5,0）∵二次函数的图像经过点（3，-8），a=1∴二次函数方程为y=（x+1）×（x-5）

误区提醒

（1）对二次函数概念理解有误，漏掉二次项系数不为0这一限制条件；

（2）对二次函数图象和性质存在思维误区；

（3）忽略二次函数自变量取值范围；

（4）平移抛物线时，弄反方向。