直线L上两点P、O,它们的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),在直线L上一个不同于P, O的任一点M使PM/MO等于已知常数λ。即PM/MO=λ,我们就把M叫做有向线段PO的定比分点。 若设M的坐标为(x,y),则x=(x1+λx2)/(1+λ) ,y=(y1+λy2)/(1+λ)
1.线段的定比分点及λ:
P1,P2是直线L上的两点,P是L上不同于P1, P2的任一点,存在实数λ,使向量P1P=λ向量PP2,λ叫做点P分P1P2所成的比。以P1P2中点为原点,x轴表示P相对P1 P2的位置,y轴表示λ的取值
根据右图,从左往右看,λ 的取值有以下五种情况
①P在P1左边(P在向量P1P2反向延长线上),λ∈(-1,0)
②P与P1重合,λ=0
③P在P1与P2之间(P在向量P1P2上),λ∈(0,+∞)
*i. P在P1与原点之间,即P1PPP2,λ∈(1,+∞)
④P与P2重合,λ∈Φ
⑤P在P2右边(P在向量P1P2正向延长线上),λ∈(-∞,-1)
还有λ永远不等于-1
2 定比分点公式:
若设点P1(x1,y1) ,P2(x2,y2),λ为实数,且向量P1P=λ向量PP2
即 P1P=λPP2
由向量的坐标运算,得P1P=(x-x1,y-y1) ,PP2=(x2-x, y2-y)
∴ (x-x1,y-y1)=λ(x2-x, y2-y)
∴ 定比分点公式为,
λ=(x-x1)/(x2-x)
λ=(y-y1)/(y2-y)
3.定比分点坐标公式:
∵λ=(x-x1)/(x2-x)
∴λx2-λx=x-x1
λx2+x1=λx+x
得,x=(λx2+x1)/(λ+1)
同理,y=(λy2+y1)/(λ+1)
注:当λ=1时,即中点坐标公式。