定比分点定义

定比分点相关概念

定比分点定义

直线L上两点P、O，它们的坐标分别为（x1，y1),(x2，y2)，在直线L上一个不同于P， O的任一点M使PM/MO等于已知常数λ。即PM/MO=λ，我们就把M叫做有向线段PO的定比分点。 若设M的坐标为(x，y)，则x=(x1+λx2)/(1+λ) ,y=(y1+λy2)/(1+λ)

定比分点相关概念

1.线段的定比分点及λ：

P1，P2是直线L上的两点，P是L上不同于P1， P2的任一点，存在实数λ，使向量P1P=λ向量PP2,λ叫做点P分P1P2所成的比。以P1P2中点为原点，x轴表示P相对P1 P2的位置，y轴表示λ的取值

根据右图，从左往右看，λ 的取值有以下五种情况

①P在P1左边（P在向量P1P2反向延长线上），λ∈（-1，0）

②P与P1重合，λ=0

③P在P1与P2之间（P在向量P1P2上），λ∈（0，+∞）

*i. P在P1与原点之间，即P1PPP2，λ∈（1，+∞）

④P与P2重合，λ∈Φ

⑤P在P2右边（P在向量P1P2正向延长线上），λ∈（-∞，-1）

还有λ永远不等于-1

2 定比分点公式：

若设点P1（x1,y1） ，P2（x2,y2），λ为实数，且向量P1P=λ向量PP2

即 P1P=λPP2

由向量的坐标运算，得P1P=（x-x1,y-y1） ，PP2=（x2-x, y2-y）

∴ （x-x1,y-y1）=λ（x2-x, y2-y）

∴ 定比分点公式为，

λ=（x-x1）/（x2-x）

λ=（y-y1）/（y2-y）

3.定比分点坐标公式：

∵λ=（x-x1）/（x2-x）

∴λx2-λx=x-x1

λx2+x1=λx+x

得，x=（λx2+x1）/（λ+1）

同理，y=（λy2+y1）/（λ+1）

注：当λ=1时，即中点坐标公式。