背景

寻找那座山(1738年，钦博拉索山 1774年，榭赫伦山)

测量(天文 勘测)

榭赫伦实验（英语：Schiehallion Experiement）是十八世纪一次测量地球平均密度的实验。实验资金由皇家学会提供，在1774年夏于苏格兰珀斯郡（今珀斯-金罗斯）的榭赫伦山附近进行。实验的主要用具是摆，由于附近的山对摆造成重力吸引，所以摆运动时近的一边会有微小的偏角，而实验所量度的正是这个偏角。经过对候选山头的初步调查，调查显示榭赫伦山是进行实验的理想地点，因为它拥有偏远的位置与近乎对称的山形。促成这次实验的一个原因是，勘测梅森-狄克森线（Mason-Dixon Line，美国宾夕法尼亚州、马利兰州、特拉华州与西维吉尼亚州间的一段边界）时所注意到的单向偏倚。

同样的实验之前曾被艾萨克·牛顿考虑过，他想用这个实验来展示他的万有引力定律，但最终被放弃。然而，以当时的皇家天文学家内维尔·马斯基林为首的一队科学家，认为这样的效应是可以测量的，并计划进行这一个实验。钟摆的偏角大小，取决于地球与山的相对密度和体积。如果可以确定榭赫伦山的密度，那么这个实验的结果就能确定地球的密度。知道了地球的密度，科学家们就估计出太阳系内各天体的密度近似值，这些天体包括其他行星、它们的卫星和太阳本身，之前所知道的，只是它们之间的相对比值。这个实验还有另一项贡献，为了简化勘测山的过程，实验者发明了等高线，现在制作地图还是会用到这项发明。

背景

在对称的引力场中，摆在静止时会垂直向下。然而，如果旁边有足够大的质量（例如一座山），那么它的吸引力，应该会把摆的铅锤，向它那边拉过去，使得摆稍微偏离垂直。由某已知物体（例如恒星）所造成的铅垂线角度偏移，可以通过在山两边的各对点上，对摆进行仔细的测量得出。通过判定山的体积，及估算山石的平均密度，就能够独立地得出山的质量，再加上在那座山多处的偏角测量值，就能通过外推得出地球的平均密度，然后再使用平均密度来算出地球的质量。

艾萨克·牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中，曾考虑过这个效应，但却悲观地认为，地球上任何山所造成的偏角都太小，测量不到[2]。他写道，引力效应只能在行星的大小尺度下才看得到。牛顿的悲观是没有根据的：虽然他的计算指出，偏角会小于2角分（对象是一座三英哩高的理想山），但是这个角度，尽管很小，还是在当时仪器的理论测量范围之内。

任何一个测试牛顿万有引力定律的实验都有两个作用：一、为该定律提供证据；二、为地球的质量与密度提供近似值。对于天文物体的质量，由于已知的只有各天体间的相对质量比，所以知道地球质量的大小，就能知道其他天体质量的合理数值，这些天体包括行星、它们的卫星，还有太阳。实验的数据也能用于计算万有引力常数G 的大小，但是这不是当时实验者的目标；而G 最早的参考数值，要再等几乎一百年，才出现在科学文献中。

寻找那座山

1738年，钦博拉索山

一对法国天文学家，皮埃尔·布格（Pierre Bouguer）和夏尔·玛丽·德·拉·孔达米纳（Charles Marie de La Contamine），是最早进行这项实验的人，他们在1738年的实验地为厄瓜多尔一的钦博拉索山，山高6,268米。他们的探险队，为了测量一度纬度内的子午线弧长，而在1738年离开了法国，前往赤道上的南美洲，但是他们却乘机进行了这项偏移实验。在1738年12月，在非常困难的地形和气候下，他们在海拔4,680米和4,340米的地方，进行了两次测量。布格在1749年的一份论文上说他们量度到8角秒的偏移，但是他却低估了这次结果的重要性，还说这项实验应该在条件较好英国或法国进行。他还补充说，这次实验最少证明了，地球不可能是空壳，而当时就有思想家认为地球可能是空的，当中包括了爱德蒙·哈雷。

1774年，榭赫伦山

当时的皇家天文学家，内维尔·马斯基林（Nevil Maskelyne）于1772年向皇家学会提出，应该再多进行一次这项实验。他说这实验会“为进行它的国家带来荣耀”，还提出两处适合的实验地：约克郡的浑塞德峰（Whernside），及坎伯兰的布伦卡思拉-斯克道（Blencathra-Skiddaw）古地块。皇家学会组成了引力委员会，来考虑这件事，委员包括马斯基林、约瑟夫·班克斯（Joseph Banks）和本杰明·富兰克林。委员会派遣天文学家兼测量学家查理斯·梅森（Charles Mason）二，去找一座适合的山。

经过1773年夏季的漫长搜寻后，梅森回报说最佳的候选地是榭赫伦山（Schiehallion，当时写法为Schehallien），它位处苏格兰高地的中央，在泰湖（Loch Tay）与兰洛湖（Loch Rannoch）之间，山高1,083米。山的耸立之处看起来像被其他山孤立，附近的山离它都不太近，这样它们对实验的引力影响会较低，加上榭赫伦山的山脊东西对称，这样会简化计算。它陡峭的南北山脊离山的重心很近，这样会使偏移最大化。

然而，梅森拒绝以每天一坚尼的工资，自己执行是次实验 。于是这个任务就落在马斯基林的手中，因此他被批准暂时卸下皇家天文学家的职务。为了执行这次任务，他有两名副手，数学家兼测量学家查理斯·赫顿（Charles Hutton），和任职于皇家格林尼治天文台的数学家鲁宾·巴罗（Reuben Burrow）。另外还雇有一队劳工，负责兴建天文学家的观测站，和协助勘测。科学队伍的配备齐全且精良：包括30厘米的黄铜象限仪，1769年库克船长出航观测金星凌日时就有带它；3米长的天顶仪，还有一座准确的摆钟，用于为天文观测所需的时间测定。为了勘测山体，他们还取得了经纬仪、甘特链和一对气压计，用于量度海拔。而且当时，皇家学会能够为实验提供丰厚的拨款，因为英皇将之前考察金星凌日的拨款余额，交付了给学会。

测量

天文

为了这项实验，团队在山的南北麓各兴建了一所观测站，还兴建了一座简陋的小屋，作装备储藏及科学家住宿之用三。而大部份劳工则住在用帆布搭建的帐篷中。最早进行的是马斯基林的天文测量。为了实验，他必须测定出铅垂的天顶距离，这个测量需要利用天上的一组星，而在量度时星必须通过正南线。由于起雾和下雨的关系，所以天气状况并不理想。然而，马斯基林还是在南观测站，成功向某方向的34颗星作了76次测量，还有向另一方向的39颗星作了93次。之后，他到了北观测站，再向一组32颗星作了68次测量，又向另一组37颗星作了100次。他在测量时把天顶仪的平面朝向东方，然后转往西方再测量，这样他成功地避开了仪器小口径化所带来的系统误差。

为了判定山所造成的偏移，有必要考虑地球表面的弯曲：当纬度不同时，当地的观测者会发现天顶的位置不同，其偏移角度与纬度变化的度数一致。另外观测时还会遇上各种不同的效应，例如进动、光行差和章动，在考虑过这些效应之后，马斯基林指出，榭赫伦山南与山北的可见天顶，两者间的偏角为54.6角秒[6]。之后，勘测队伍交上了他们对南北观测站纬度差的结果，为42.94"，于是马斯基林把这个数值和他的天顶偏角值相减，再将数值按他的测量准确度整数化，他宣布南北两地的铅垂偏角和为11.6"。

马斯基林将他的初步结果发表于1775年的《自然科学会报》，当中他用了初测时的山形数据，以及用这组数据推算出的重心位置。根据这组数据，马斯基林认为，假如榭赫伦山的平均密度与地球一様，那么铅垂偏角应为20.9"[3][13]。由于实验结果约为上述角度的一半，所以马斯基林能初步宣布，地球的平均密度约为榭赫伦山的两倍。更准确的结果，需要等到勘测过程完工后才会有。

马斯基林还乘机指出，榭赫伦山表现出引力，因此所有山都有引力；而且牛顿的引力反平方定律也被确认了。皇家学会对马斯基林的研究表示欣赏，并将1775年的科普利奖章授予马斯基林；传记家亚历山大·查尔摩斯（Alexander Chalmers）写道：“如果还有任何对牛顿系统真实性的怀疑，那么它们现在全部都被移除了。”

勘测

勘测队伍的工作进度，被持续恶劣的天气大幅延误，直至1776年才完成勘测。为找出山的体积，计算时需要把山分成一组垂直的柱体，然后计算每一个柱体的体积。三角测量的工作由赫顿负责，这是一项工作量很大的测量：勘测员需要在山的周围，超过一千个点上，一共量出数以千计的方位角。此外，计算用柱体的顶点，并不一定会便利地落在勘测的高度上。为了理解全部数据，他决定使用内插法，在各测量值间放置一系列的线，线之间的高度差固定，线上的点都位于等高的位置。这样做的话，他不但可以简单地判定柱体的高度，而且能从线的回旋度立刻得知地形的形式。赫顿发明了等高线，从那时起这项发明就广泛应用于地形图的绘制。

太阳　1,100　1,408

水星　9,200　5,427

金星　5,800　5,204

地球　4,500　5,515

月球　3,100　3,340

火星　3,300　3,934

木星　1,100　1,326

土星　 410　 687赫顿必须计算出众多格子上每一个柱体所造成的个别引力作用，这项计算的工作量，跟勘测本身相差无几。在测量完成后，这项工作再花了他两年的时间，才能发表实验结果，最后他在1778年向皇家学会提交了一份一百页的报告论文。假设地球与榭赫伦山的平均密度一致，他发现地球对铅锤的吸引力，比在南北观测站所得的吸引力和，要大9,933倍。在考虑过纬度对地球引力的影响后，实际的摆偏角11.6"对应的比值为17,804:1 ，由于摆偏角的值为实验值，所以赫顿能够写下，地球的密度值为榭赫伦山的17804/9933倍，或约9/5倍。因此漫长的勘测过程，并没有太大地影响马斯基林的计算结果。赫顿取榭赫伦山的密度值为2,500 kg·m，并宣布地球的密度值为它的9/5

倍，即4,500 kg·m。对比现在所采纳的数值，5,515 kg·m，当时地球密度值的误差小于20%。

由于地球的平均密度，比表面的石块的密度要大得多，因此这很自然地意味着，地球的内部埋藏着密度更高的材质。赫顿正确地推测出，核心物质很有可能是金属，密度值为10,000 kg·m。他估算出这金属部份，大概占地球直径的65%。有了地球平均密度的数值，再加上杰罗姆·拉朗德的行星天文表，赫顿能够计算出太阳系内各天体的密度值（见右表），而在这之前，有的只是各天体密度间的相对比值。