定义

背景

性质

定义

设X是射影代数曲面， 如果X不包含(-1)-曲线， 并且它的第一陈类c_1(X) 以及结构层 O_X 的上同调 示性类

χ(O_X)，分别满足:

c_1^2(X)>0, χ(O_X)>0,

那么X就称为一般型极小曲面。

严格地讲， 一般型极小曲面就是指小平维数kod(X)=2的极小代数曲面。

背景

代数曲面分类，是经典代数几何最重要的课题之一。 小平邦彦 首先按照小平维数对代数曲面进行粗糙的分类。 在此分类原则下，Enriques 对于小平维数不超过1的极小代数曲面， 进一步给出稍为细致的分类。而对于一般型极小曲面， 其分类则非常复杂，这方面的研究成果及文献浩如烟海。

人们主要借助于由典范除子诱导的典范映射以及多重典范映射 的性质来刻画和分类一般型极小曲面。在很多情形下， 带有纤维化结构的一般型曲面也常常能够通过其纤维结构来反映出曲面的性质。

性质

1.一般型曲面的极小模型唯一。

2.宫冈-丘不等式： c_1^2(X)≦9χ(O_X).

3. 诺特不等式： c_1^2(X)≧2p_g(X)-4. 这里p_g(X)是X的几何亏格，也就是H^2(X,O_X)的维数。

4。 p_g(X)≧2q(X)-4. 这里q(X)是非正则性指标， 也就是H^1(X, O_X)的维数。

5。 Bombieri：如果n≧5, 那么由多重典范线性系|nK_X|诱导的多重典范映射Φ_n是同构的。

有许多数学家对此作出了重要贡献， 比如崛川寅二（Horikawa）, 肖刚，Beauville， Miles Reid等等 。上面我们只是列出最基本的几条性质。有兴趣的读者可以参看相关文献。