定义

例子

性质

背景

与几何的联系

推广

定义

一个环 R中的理想P如果满足以下条件就称作素理想： 对任何a,b∈R, 如果乘积ab ∈P, 那么a或b中至少有一个属于P.

例子

1. R=Ζ是整数环， 我们知道R中任何理想都是主理想,即由一个整数d生成的理想(d). 换言之, 该理想是由d的全体倍数构成的集合. (d)是素理想当且仅当d是素数.

2. R=Q是有理数域, R中的理想只有零理想和R本身。 零理想显然是素理想.

3. R=F[x]是域F上的多项式环--即系数取自F的多项式全体构成的集合, R中的素理想就是由不可约多项式生成的理想。

性质

我们这里只考虑含幺的交换环R.

1. P是R的素理想当且仅当商环R/P是整环.

2. P是R的极大理想当且仅当商环R/P是域. 因此极大理想必是素理想.

3. R的零理想是素理想当且仅当R是整环.

背景

素理想一词最早可追溯到费马最后的定理（也称费马大定理） 的研究， 即即证明著名的费马方程

X^n+Y^2=Z^n

当n>2时没有非零整数解. 这一问题的研究首先被扩展到n次单位根扩域上--分圆域--来讨论。 人们试图利用类似整数的算术基本定理来证明方程无解. 但遗憾的是, 分圆域上算术基本定理不一定成立。 为了弥补这一缺陷, 库莫引入了理想数的概念--即“理想”的雏形。 理想数上有算术基本定理， 既可以唯一分解成素理想的乘积. 这里的素理想当然就是推广了整数环中的素数的概念. 理想理论后为戴德金所发展，现在已成为代数数论、交换代数等等理论的基础内容之一。

与几何的联系

对于代数闭域 k（比如复数域）上的多项式环R=k[x_1,...x_n]， 希尔伯特基定理指出： 任何理想I总是由有限个多项式生成. 这些多项式定义了n维仿射空间k^n中的代数簇--即这些多项式方程组的零点集。 代数几何的基本结论表明, 在所有根理想的集族和所有代数簇的集族之间存在一一对应.

素理想对应着不可约的代数簇. 极大理想对应点。

推广

素理想的概念可以推广为准素理想： 即其根理想为素理想的那些理想。 准素理想唯一分解定理就是整数中的算术基本定理的推广.