定义 函数 g 在区间 [a, b] 上可微分、表示R 空间内的曲线。 函数 F 是定义在函数 g 上的矢量场。 那么

∫(F(g(t)), g'(t)) dt (积分区间从a到b) ...... (1)

叫做 g 上的 F 的线积分。 特例，当 F 是Scalar值的时候、矢量积分就是

∫F(g(t)) |g'(t)| dt (积分区间从a到b) ...... (2)

这样的形式。但是当g(t) = (x(t), y(t)) 的时候

|g'(t)| = sqr((x'(t)) + (y'(t))) 就作为矢量积分积分（１）的物理意义。例如在空间中有一力 F 、单位质量的质点m 从山脚向山顶与力F 逆向、沿着路径g(t) 运动（如下图）。 考虑有哪些能源是必要的。如果在极小区间　ds=s2-s1 （全部矢量）上运动的话、增加力F(s2)的矢量ds的正投影（即内积）　(F(s2),s2-s1)就是工作，也就是必要的能源。有 (F(s2),s2-s1)=(F(g(t2)),(g(t2)-g(t1))/(t2-t1))×(t2-t1) ≒　(F(g(t),g'(t))dt 增加的这部分就是线积分（１）。

例 -- 半径为r 的拳击场的长度 这个曲线表示为 g(t) = (rcos(t), rsin(t)) 0 ≦ t ≦ 2pai

得 g'(t) = (-rsin(t), rcos(t)) |g'(t)| = r sqr(sin(t) + cos(t))

长度为 L = ∫g ds = ∫0 |g'(t)| dt = ∫0 r dt = 2πr