奇偶位差法的应用

奇偶位差法的解释

奇偶位差法的应用

奇偶位差法就是奇数位与偶数位的差是0或11的倍数。

例：判断4398，1837，48321能否被11整除，（奇偶位差法)

1.4+9=13

3+8=11

4398不是

2.1+3=4

8+7=15

1837是

3.4+3+1=8

8+2=10

48321不是

奇偶位差法的解释

考虑一个数与11相乘

令x=abcde*11 分析x的特征

abcde

* 11 ......(1)

= abcde

abcde

=a(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)e

若各位相加都没进位 则奇数位和-偶数位和=0

若只有d+e有进位 a(a+b)(b+c)(c+d+1)(d+e-10)e

很明显此时 奇数位和-偶数位和=11

若只有c+d有进位 a(a+b)(b+c+1)(c+d-10)(d+e)e

很明显此时 奇数位和-偶数位和=-11

继续推下去可知

对于1式的乘法，当奇数位有进位而与他相邻的高位没有进位时 此时 奇数位和-偶数位和=-11

当偶数位有进位而与他相邻的高位没有进位时 此时 乘积结果的奇数位和-偶数位和=11

若奇数位和偶数数都有进位，那么所得乘积结果的奇数位和-偶数位和(各位数字相加)就取决于是奇数位和(乘法相加时)进位的多还是偶数位和进位的多

也就是说能被11整除的数总有这么一个特征，他的奇数位和-偶数位和(各位数字相加)是11或-11的正整数倍，或者是0，也就是能被11整除

反过来，1个具备这样特征的数(目标数)是否一定能被11整除，下面给予证明 要通过一个目标数找到原数(目标数/11)

假设目标数为abcde 若奇数位和-偶数位和(各位数字相加)是11或-11的正整数倍或0

比较原数的某位与目标数的邻高位 很明显原数的最低位一定是目标数的最低位

比如 9856 ， 原数一定是***6 先比较5和6

对于最低位，若次低位(目标数)>最低位(原数)

则可知原数次低位是目标数次低位-最低位(原数)

若次低位<最低位

则可知原数次低位是目标数次低位+10-最低位(原数)

然后比较原数的次次低位与目标数次低位

这样依次下去，就会找到原数

也就是说满足这样一个条件的数，经过一定步骤的运算，就能找到它被11除的数

因此，奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0)就可以推出这个数能被11整除.