命题函项

这个概念是现代逻辑学即数理逻辑的起点，而这个起点要归功于弗雷格

{转自中山大学黄敏教授的微博}

下面介绍弗雷格是如何分析命题的。

弗雷格通过对函数的语义学研究对命题进行分析的基本模式。看这样一个函数式：

（1）y=x+3

在代数中，“x”和“y”被称为变量，“x”又叫自变量或主目，“y”又叫因变量或函数值，函数式（1）表示这两个变量之间的关系。这一点可以用一种更为普遍的形式表达：

（2）y=f（x）

我们用“f（）”来表示这种关系。把其中的变量赋值，就得到完整的数学命题。通常我们会把这种关系称为函数。在集合论中，函数可以用映射来表达。我们分别为两个变量指定变域，每当x取一个值，y就在其值域中取唯一值。x的不同取值不一定要对应于y的不同取值，不同x值可以取同一个y值，所以这种对应关系是一种多对一的关系。如果把（2）称为对函数的代数表达，而把多对一关系的表达称为集合论表达，那么对函数的代数表达与集合论表达在数学上等价。我们会看到这种等价关系在弗雷格那里得到体现。

到此为止我们还没有考虑语义。如果考虑语义就会发现一个问题。现在问，在上面两种形式中“x”和“y”表示什么呢？自然，我们已经称其为“变量”，因而它们分别表示一个变化的数。问题就出在这里——有变化的数吗？现在把2和6分别赋给x和y，我们得到一个完整的命题：

（3）6=2+3

但6和2都不是变化的数，也不是不确定的数。显然，说“变化的数”，并不是指某个数是变化的，而是说，我们可以把一些不需要特别指出来的数赋给这两个变量，而这两个变量并不表示这些数。换言之，这两个变量在这里并不起表示某个数的作用，其作用在于为构成一个命题创造条件。比如说，把（1）换成下面的形式就很明显：

（4）（）=（）+3

只要在括号中填上数字，就构成了一个算术命题。换一个函数式，这种作用表现得更明显：

（5）x/y+x+y=30

改成括号的形式：

（6）（）/（）+（）+（）=30

依照（5）的提示，在（6）中代入的数字要符合这个要求，填入第一个括号与第三个括号的数相等，填入第二个括号与第四个括号的数字相等。

这能够说明什么呢？这说明在函数表达式中，变量是一个句法（syntactical）概念，而不是语义（semantical）概念。变量为函数表达式提供形式上的约束，其本身并不表示对象。与变量对立的是常量，例如（1）中的“3”。常量是语义概念，“3”就表示自然数3。这样，我们自然就获得了一个想法：把一个命题中的常量换成变量，就得到这个命题的形式。

现在把对函数的讨论推广到一般的命题形式。由于我们讨论的不仅仅是数，所以就把原来术语里的“量”改称“项（term）”。正如在数学中用“量”代表数，“项”在这里代表对象。看下面这个命题：

（7）海伦是特洛伊的公主。

这个命题提到两个对象，海伦这个人和特洛伊这个城邦。于是就可以变换成下面的命题形式：

（8）x是y的公主。

这个命题说的是两个对象之间的关系，一个是另一个的公主。因而我们可以把（8）写成这种函项式：

（9）x=P（y）；或（）=P（）。

其中“P（）”表示“（）的公主”。也可以换成这种形式：

（10）x是特洛伊的公主。

在这个形式中，把“x”换成代表不同对象的词，就得到不同的句子。现在我提一个问题：能否把（10）写成函项式呢？

如果用“T（）”来表示“是特洛伊的公主”，那么就会得到这样一个函项式：

（11）T（x）。

这当然是一个命题，就像（9）一样。虽然这里出现了形式一样的“P（）”和“T（）”，但是，我们可以说前一个表示的是关系，需要至少两个对象才能构成完整的命题，而后一个表示性质，只需要一个对象就行了。这就是说（11）与（9）一样，都是完整的命题。但是，我们在前面就知道，函项应当表示关系，（11）所表示的是赋给x的东西与什么之间的关系呢？如果把这个与赋给x的东西有关系的东西留给一个变元y，就会得到：（12）y=T（x）

这样一个函数式，y是函数值。问题是，y的值是什么。

一个直接的想法是，既然在（11）中给x赋一个值以后得到的是一个命题，那么y的值就是一个命题。比如说“海伦是特洛伊的公主”这个命题。如果这个理解是对的，那么就得到一个相当没意思的关系。无论对x赋一个什么样的值，它都得出了一个由此构成的命题。但是，函项所表示一个东西与另一个东西之间的关系，断定两个东西之间有这种关系，是一个有意思的命题。就以（1）为例吧。当把（1）中的x赋值3，那么就要把y赋值6，3和6之间有（1）所表示的关系。如果按我们现在的理解，认为y的值是对x赋值后得到的表达式，（1）就无疑等于说“x+3=x+3”。这等于什么也没说。

弗雷格的想法是，（12）中的y要以真或假为值。这个想法看来是很自然的。在（1）中，给x赋值3，而y的取值就取决于由此得到的“3+3”；同样，在（12）中给x赋值海伦这个人，由此得到的命题“海伦是特洛伊的公主”就决定了y取何值；既然任何一个命题都会有唯一真值，y取真值就是恰好满足了函数可以是多对一关系这一点。

这样就获得了命题函项的概念。一个命题函项就是一个其函数值为真值的函项。能够对应于真值的东西就是命题，其他东西都不具有这种性质（大家可以考虑一下，一个物体，一个人，一个事实，一个状态，这些东西能不能说是真的或假的。可参考弗雷格的文章《思想》）。因此，函数值为真值的函项，其实就是为自变元赋值后的得到命题的函项，这就是称其为“命题函项”的原因。

命题函项这个概念揭示了命题的一般形式。显然，命题函项其实就是谓词（predicate），这是常项，而自变元所赋的值由主词来表示。

命题函项这个概念是现代逻辑学即数理逻辑的起点，而这个起点要归功于弗雷格。以命题函项的形式刻画命题，与传统的亚里士多德逻辑刻画命题的方式相比有非常大的优势。这种优势首先表现在技术上。传统的形式是主谓式，一个主词与一个谓词相连接就构成一个命题，这种形式不利于刻画关系，特别是多元关系。比如说“这把椅子在讲台与桌子之间”，这里有三个表示对象的词，都可以作为主词，而剩下的部分只能作为一个整体看成谓词，无法表现出谓词究竟是如何构造出来的。如果采取函项式，就可以写成“P（x, y, z）”这样的形式，其结构一目了然。技术上的第二个好处是可以引入量词（quantifier），比如像“有些”，“所有”等等，而这些词项在主谓形式中很难得到简洁的处理。关于这一点我们在后面会提到。

函项式在另外一个方面也优于主谓式。在主谓式命题形式中，主词与谓词分别代表不同的东西，那么这些不同的东西之间是如何连接起来构成命题的呢？这个问题很难得到解释。而函项式则不存在这个问题。一个命题函项本身就是主词与谓词相连接的结构，我们可以把这个结构看成留下了空位的框架，只要在空位上填上一些东西，就构成了命题。不妨这样理解，按传统的主谓形式，主词与谓词被当成是初始的东西，命题以一种方式把这些初始的东西结合在一起；而函项的形式则是把命题所要求的结合关系看成是初始的，根据这种结合关系的要求填上一些东西，就构成命题。正是基于这一点，弗雷格提出了著名的语境原则——要在命题中理解词项的意义。语境原则在弗雷格思想中的确切地位如何，对这一点存在很多争论，但有一点是不可否认的，这个原则承认了，词项的意义至少部分地决定于命题的形式。比如说，无论我们在（10）这个命题函项主目位置填上什么词项，这个词项代表什么，要确定这一点不能不考虑这个命题的形式。这一点的确切意义非常清楚地表现在概念与对象的区分上。