| 词条 | 插值法 |
| 释义 | 插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。 简介插值法是函数逼近的一种重要方法，是数值计算的基本课题。本节只讨论具有唯一插值函数的多项式插值和分段多项式插值，对其中的多项式插值主要讨论n次多项式插值的方法，即给定n+1各点处的函数值后，怎样构造一个n次插值多项式的方法。虽然理论上可以用解方程组（2）（那里m=n）得到所求插值多项式，但遗憾的是方程组（2）当n较大时往往是严重是病态的。故不能用解方程组的方法获得插值多项式。本节介绍的内容有：lagrange插值，newton插值，hermite插值，分段多项式插值及样条插值。 Lagrange插值Lagrange插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的 方法解决了求n次多项式插值函数问题。 基本思想 将待求的n次多项式插值函数pn(x)改写成另一种表示方式，再利 用插值条件（1）确定其中的待定函数，从而求出插值多项式。 Newton插值Newton插值也是n次多项式插值，它提出另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。 基本思想 将待求的n次插值多项式Pn（x）改写为具有承袭性的形式，然后利用插值条件（1）确定Pn（x）的待定系数，以求出所要的插值函数。 Hermite插值Hermite插值是利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的,起其提法为:给定n+1个互异的节点x0,x1,……,xn上的函数值和导数值 求一个2n+1次多项式H2n+1(x)满足插值条件 H2n+1(xk)=yk H'2n+1(xk)=y'k k=0,1,2,……,n (13) 如上求出的H2n+1(x)称为2n+1次Hermite插值函数,它与被插函数 一般有更好的密合度. 基本思想 利用Lagrange插值函数的构造方法,先设定函数形式,再利 用插值条件(13)求出插值函数. 分段多项式插值插值多项式余项公式说明插值节点越多,误差越小，函数逐近越好，但后来人们发现，事实并非如此，例如：取被插函数,在[-5，5]上的n+1个等距节点： 计算出f(xk)后得到Lagrange插值多项式Ln(x),考虑[-5,5]上的一点x=5-5/n,分别取n=2,6,10,14,18计算f(x),Ln(x)及对应的误差Rn(x),得下表 从表中可知,随节点个数n的增加,误差lRn(x)l不但没减小,反而不断的增大.这个例子最早是由Runge研究,后来人们把这种节点加密但误差增大的现象称为Runge现象.出现Runge现象的原因主要是当节点n较大时,对应 的是高次插值多项式,此差得积累"淹没"了增加节点减少的精度.Runge现象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法,本节的分段插值就是克服Runge现象引入的一种插值方法. 分段多项式插值的定义为 定义2: a=x0<x1<…<xn=b: 取[a,b]上n+1个节点 并给定在这些节点 上的函数值f(xR)=yR R=0,1,…,n 如果函数Φ(x)满足条件 i) Φ(x)在[a,b]上连续 ii) Φ(xr)=yR ,R =0,1,…,n iii) Φ(x)zai 每个小区间[xR,xR+1]是m次多项式, R=0,1,…,n-1则称Φ(x)为f(x)在[a,b]上的分段m次插值多项式 实用中,常用次数不超过5的底次分段插值多项式,本节只介绍分段线性插值和分段三次Hermite插值,其中分段三次Hermite插值还额外要求分段插值函数Φ(x) 在节点上与被插值函数f(x)有相同的导数值,即 基本思想 将被插值函数f〔x〕的插值节点 由小到大 排序,然后每对相邻的两个节点为端点的区间上用m 次多项式去近似f〔x〕. 例题 例1 已知f（x）=ln（x）的函数表为： 试用线性插值和抛物线插值分别计算f（3.27）的近似值并估计相应的误差。 解：线性插值需要两个节点，内插比外插好因为3.27 （3.2，3.3），故选x0=3.2，x1=3.3，由n=1的lagrange插值公式，有 所以有,为保证内插对抛物线插值，选取三个节点为x0=3.2,x1=3.3,x2=3.4,由n=2的lagrange插值公式有 故有 所以线性插值计算ln3.27的误差估计为 故抛物线插值计算ln3.27的误差估计为： 显然抛物线插值比线性插值精确。 样条插值样条插值是一种改进的分段插值。 定义 若函数在区间〖a，b〗上给定节点a=x0<x1<…<xn=b及其函数值yj，若函数S（x）满足 1. S（xj）=yj，j=0,1,2，…，n； 插值法主要用于：道路桥梁，机械设计，电子信息工程等 很多工科领域的优化方法 |
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