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词条 箕舌线
释义

简介

箕舌线是平面曲线的一种。

给定一个圆和圆上的一点O。对于圆上的任何其它点A,作割线OA。设M是O的对称点。OA与M的切线相交于N。过N且与OM平行的直线,与过A且与OM垂直的直线相交于P。则P的轨迹就是箕舌线。

箕舌线有一条渐近线,它是过O的切线。

方程

设O是原点,M在正的y轴上。假设圆的半径是a

则曲线的方程为y=8a^3/(x^2+4a^2) 。

注意如果a=1/2,则曲线化为最简单的形式: y=1/(x^2+1)

如果是OM与OA的夹角,则曲线的参数方程为:x=2atanΘ y=2a(cosΘ)^2

如果是OA与x轴的夹角,则曲线的参数方程为:x=2acotΘ y=2a(sinΘ)^2

性质

箕舌线与渐近线之间的面积是圆面积的四倍(也就是4πa^2)。 箕舌线绕着渐近线旋转,则旋转体的体积为4π^2a^3。 曲线的重心位于(0,a/2)。

参考书籍

“The Witch of Agnesi” John H. Lienhard.

The Engines of Our Ingenuity.

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更新时间:2025/3/21 12:27:43