简介

标度不变与共形不变

二维共形场论

简介

形场论、保角场论 (conformal field theory, CFT) 是量子场论一支，研究共形对称之量子场组成之结构 (数学上或相通于处临界点之统计力学模型) 。一此结构亦俗称“一共形场论”。此论中最为人知者是二维共形场论，因其有一巨大、对应于各全纯函数之无限维局部共形变换群。

共形场论有用于 弦论、统计力学、凝态物理。

标度不变与共形不变

标度变换 是共形变换之子集。 标度变换下不变、但共形变换下变之量子场论例子罕见。 而且在某些条件下，标度不变涵蕴共形不变。 故量子场论研究员常混用标度不变与共形不变二词。

二维共形场论

二维共形场论有一无限维之局部共形变换群。例如，考虑黎曼球面上之共形场论：虽其变换群由各Moebius 变换组成、同构于PSL(2,C)，但其无穷小共形变换则构成无限维之 Witt 代数。 注意：大多共形场论量子化后会出现 共形反常 （又称 Weyl 反常）。此现象 引进一非零之中心荷，因而 Witt 代数须扩展成 Virasoro 代数。

此对称结构让我们更细致分类二维的共形场论。 尤其者，我们可联繋一共形场论之原初算子与其中心荷 c。各物理态[2]组成之希尔伯特空间是Virasoro 代数以c为定值之一么正模. 若要使整个系统穏定，则其Hamiltonian 之能谱应限在零及其上。最广为人用者是Virasoro代数之最高权表示。

一手征场 是一全纯场W(z)，其在Virasoro 代数作用下之变换为

反手征场之定义亦类同。吾人称 Δ 为手征场W之“共形权”[6]。

Zamolodchikov 证明了：存在一函数 C，在重整群流作用下单调下降 ，且等于一二维共形场论之中心荷。 此定理人称 “Zamolodchikov C-定理”。是故，二维重整群流不可逆也。