闭包的基本概念

闭包的价值

闭包的本质(闭包点 极限点 集合的闭包具有的性质)

Perl中的闭包

在Javascript中闭包(Closure)(一、什么是闭包？ 二、闭包有什么作用？ 三、闭包内的微观世界 四、闭包的应用场景 五、Javascript的垃圾回收机制)

在Python中的闭包(Closure)

在离散中“关系”的闭包(Closure)(性质1: 性质2: 性质3:)

闭包的基本概念

闭包是可以包含自由（未绑定到特定对象）变量的代码块；这些变量不是在这个代码块内或者任何全局上下文中定义的，而是在定义代码块的环境中定义。“闭包” 一词来源于以下两者的结合：要执行的代码块（由于自由变量被包含在代码块中，这些自由变量以及它们引用的对象没有被释放）和为自由变量提供绑定的计算环境（作用域）。在 Scheme、Common Lisp、Smalltalk、Groovy、JavaScript、Ruby 和 Python 等语言中都能找到对闭包不同程度的支持。

闭包的价值

闭包的价值在于可以作为函数对象 或者匿名函数，对于类型系统而言这就意味着不仅要表示数据还要表示代码。支持闭包的多数语言都将函数作为第一级对象，就是说这些函数可以存储到变量中、作为参数传递给其他函数，最重要的是能够被函数动态地创建和返回。

闭包的本质

集合 S 是闭集当且仅当 Cl(S)=S。特别的，空集的闭包是空集，X 的闭包是 X。集合的交集的闭包总是集合的闭包的交集的子集（不一定是真子集）。有限多个集合的并集的闭包和这些集合的闭包的并集相等；零个集合的并集为空集，所以这个命题包含了前面的空集的闭包的特殊情况。无限多个集合的并集的闭包不一定等于这些集合的闭包的并集，但前者一定是后者的父集

若 A 为包含 S 的 X 的子空间，则 S 在 A 中计算得到的闭包等于 A 和 S 在 X 中计算得到的闭包（Cl_A(S) = A\\cap Cl_X(S)）的交集。特别的，S在 A 中是稠密的，当且仅当 A 是 Cl_X(S) 的子集。

闭包点

对欧几里德空间的子集 S，x 是 S 的闭包点，若所有以 x 为中心的开球都包含 S 的点（这个点也可以是 x）。

这个定义可以推广到度量空间 X 的任意子集 S。具体地说，对具有度量 d 的度量空间 X，x 是 S 的闭包点，若对所有 r > 0，存在 y 属于 S，使得距离 d(x, y) < r（同样的，可以是 x = y）。另一种说法可以是，x 是 S 的闭包点，若距离 d(x, S) := inf{d(x, s) : s 属于 S} = 0（这里 inf 表示下确界）。

这个定义也可以推广到拓扑空间，只需要用邻域替代“开球”。设 S 是拓扑空间 X 的子集，则 x 是 S 的闭包点，若所有 x 邻域都包含 S 的点。注意，这个定义并不要求邻域是开的。

极限点

闭包点的定义非常接近极限点的定义。这两个定义之间的差别非常微小但很重要——在极限点的定义中，点 x 的邻域必须包含和 x 不同的集合的点。

因此，所有极限点都是闭包点，但不是所有的闭包点都是极限点。不是极限点的闭包点就是孤点。也就是说，点 x 是孤点，若它是 S 的元素，且存在 x 的邻域，该邻域中除了 x 没有其他的点属于 S。

对给定的集合 S 和点 x，x 是 S 的闭包点，当且仅当 x 属于 S，或 x 是 S 的极限点。

集合的闭包

集合 S 的闭包是所有 S 的闭包点组成的集合。S 的闭包写作 cl(S)，Cl(S) 或 S−。

集合的闭包具有的性质

cl(S) 是 S 的闭父集。

cl(S) 是所有包含 S 的闭集的交集。

cl(S) 是包含 S 的最小的闭集。

集合 S 是闭集，当且仅当 S = cl(S)。

若 S 是 T 的子集，则 cl(S) 是 cl(T) 的子集。

若 A 是闭集，则 A 包含 S 当且仅当 A 包含 cl(S)。

有时候，上述第二或第三条性质会被作为拓扑闭包的定义。

在第一可数空间（如度量空间）中，cl(S) 是所有点的收敛数列的所有极限。

Perl中的闭包

闭包 (closure)是个精确但又很难解释的电脑名词。在 Perl 里面，闭包是以 匿名函数的形式来实现，具有持续参照位于该函数范围之外的文字式变数值的能力。 这些外部的文字变数会神奇地保留它们在闭包函数最初定义时的值 (深连结)。

如果一个程式语言容许函数递回另一个函数的话 (像 Perl 就是)，闭包便具有意 义。要注意的是，有些语言虽提供匿名函数的功能，但却无法正确处理闭包； Python 这个语言便是一例。如果要想多了解闭包的话，建议你去找本功能性程式 设计的教科书来看。Scheme这个语言不仅支援闭包，更鼓励多加使用。

以下是个典型的产生函数的函数：

sub add_function_generator {

return sub { shift + shift };

}

$add_sub = add_function_generator();

$sum = &$add_sub(4,5); # $sum现在是 9了

闭包用起来就像是个函数样板，其中保留了一些可以在稍後再填入的空格。 add_function_generator() 所递回的匿名函数在技术上来讲并不能算是一个闭包， 因为它没有用到任何位在这个函数范围之外的文字变数。

把上面这个例子和下面这个make_adder()函数对照一下，下面这个函数所递回的匿名函数中使用了一个外部的文字变数。这种指明外部函数的作法需要由 Perl递回一个适当的闭包，因此那个文字变数在匿名函数产生之时的值便永久地被锁进闭包里。

sub make_adder {

my $addpiece = shift;

return sub { shift + $addpiece };

}

$f1 = make_adder(20);

$f2 = make_adder(555);

这样一来&$f1($n) 永远会是 20加上你传进去的值$n ，而&$f2($n) 将 永远会是 555加上你传进去的值$n。$addpiece的值会在闭包中保留下来。

闭包在比较实际的场合中也常用得到，譬如当你想把一些程式码传入一个函数时：

my $line;

timeout( 30, sub { $line = <STDIN> } );

如果要执行的程式码当初是以字串的形式传入的话，即'$line = <STDIN>' ，那么timeout() 这个假想的函数在回到该函数被呼叫时所在的范围後便无法再撷取$list这个文字变数的值了。

在Javascript中闭包(Closure)

一、什么是闭包？

“官方”的解释是：所谓“闭包”，指的是一个拥有许多变量和绑定了这些变量的环境的表达式（通常是一个函数），因而这些变量也是该表达式的一部分。

相信很少有人能直接看懂这句话，因为他描述的太学术。我想用如何在Javascript中创建一个闭包来告诉你什么是闭包，因为跳过闭包的创建过程直接理解闭包的定义是非常困难的。看下面这段代码：

function a(){

var i=0;

function b(){

alert(++i);

}

return b;

}

var c = a();

c();

这段代码有两个特点：

1、函数b嵌套在函数a内部；

2、函数a返回函数b。

这样在执行完var c=a()后，变量c实际上是指向了函数b，再执行c()后就会弹出一个窗口显示i的值(第一次为1)。这段代码其实就创建了一个闭包，为什么？因为函数a外的变量c引用了函数a内的函数b，就是说：

当函数a的内部函数b被函数a外的一个变量引用的时候，就创建了一个闭包。

我猜想你一定还是不理解闭包，因为你不知道闭包有什么作用，下面让我们继续探索。

二、闭包有什么作用？

简而言之，闭包的作用就是在a执行完并返回后，闭包使得Javascript的垃圾回收机制GC不会收回a所占用的资源，因为a的内部函数b的执行需要依赖a中的变量。这是对闭包作用的非常直白的描述，不专业也不严谨，但大概意思就是这样，理解闭包需要循序渐进的过程。

在上面的例子中，由于闭包的存在使得函数a返回后，a中的i始终存在，这样每次执行c()，i都是自加1后alert出i的值。

那 么我们来想象另一种情况，如果a返回的不是函数b，情况就完全不同了。因为a执行完后，b没有被返回给a的外界，只是被a所引用，而此时a也只会被b引 用，因此函数a和b互相引用但又不被外界打扰(被外界引用)，函数a和b就会被GC回收。(关于Javascript的垃圾回收机制将在后面详细介绍)

三、闭包内的微观世界

如 果要更加深入的了解闭包以及函数a和嵌套函数b的关系，我们需要引入另外几个概念：函数的执行环境(execution context)、活动对象(call object)、作用域(scope)、作用域链(scope chain)。以函数a从定义到执行的过程为例阐述这几个概念。

1、当定义函数a的时候，js解释器会将函数a的作用域链(scope chain)设置为定义a时a所在的“环境”，如果a是一个全局函数，则scope chain中只有window对象。

2、当函数a执行的时候，a会进入相应的执行环境(execution context)。

3、在创建执行环境的过程中，首先会为a添加一个scope属性，即a的作用域，其值就为第1步中的scope chain。即a.scope=a的作用域链。

4、然后执行环境会创建一个活动对象(call object)。活动对象也是一个拥有属性的对象，但它不具有原型而且不能通过JavaScript代码直接访问。创建完活动对象后，把活动对象添加到a的作用域链的最顶端。此时a的作用域链包含了两个对象：a的活动对象和window对象。

5、下一步是在活动对象上添加一个arguments属性，它保存着调用函数a时所传递的参数。

6、最后把所有函数a的形参和内部的函数b的引用也添加到a的活动对象上。在这一步中，完成了函数b的的定义，因此如同第3步，函数b的作用域链被设置为b所被定义的环境，即a的作用域。

到此，整个函数a从定义到执行的步骤就完成了。此时a返回函数b的引用给c，又函数b的作用域链包含了对函数a的活动对象的引用，也就是说b可以访问到a中定义的所有变量和函数。函数b被c引用，函数b又依赖函数a，因此函数a在返回后不会被GC回收。

当函数b执行的时候亦会像以上步骤一样。因此，执行时b的作用域链包含了3个对象：b的活动对象、a的活动对象和window对象，如下图所示：

如图所示，当在函数b中访问一个变量的时候，搜索顺序是先搜索自身的活动对象，如果存在则返回，如果不存在将继续搜索函数a的活动对象，依 次查找，直到找到为止。如果整个作用域链上都无法找到，则返回undefined。如果函数b存在prototype原型对象，则在查找完自身的活动对象 后先查找自身的原型对象，再继续查找。这就是Javascript中的变量查找机制。

四、闭包的应用场景

1、保护函数内的变量安全。以最开始的例子为例，函数a中i只有函数b才能访问，而无法通过其他途径访问到，因此保护了i的安全性。

2、在内存中维持一个变量。依然如前例，由于闭包，函数a中i的一直存在于内存中，因此每次执行c()，都会给i自加1。

以上两点是闭包最基本的应用场景，很多经典案例都源于此。

五、Javascript的垃圾回收机制

在Javascript中，如果一个对象不再被引用，那么这个对象就会被GC回收。如果两个对象互相引用，而不再被第3者所引用，那么这两个互相引用的对象也会被回收。因为函数a被b引用，b又被a外的c引用，这就是为什么函数a执行后不会被回收的原因。

在Python中的闭包(Closure)

学过Java GUI编程的人都知道定义匿名内部类是注册监听等处理的简洁有效手段，闭包的定义方式有点类似于这种匿名内部类，

但是闭包的作用威力远远超过匿名内部类，这也是很多流行动态语言选择闭包的原因，相信你在JavaScript中已经了解它的神奇功效了。

定义：如果在一个内部函数里，对在外部作用域（但不是在全局作用域）的变量进行引用，那么内部函数就被认为是闭包（closure）。

简单闭包的例子：

下面是一个使用闭包简单的例子，模拟一个计数器，通过将整型包裹为一个列表的单一元素来模拟使看起来更易变：

函数counter()所作的唯一一件事就是接受一个初始化的值来计数，并将该值赋给列表count成员，然后定义一个内部函数incr()。通过内部函数使用变量count，就创建了一个闭包。最魔法的地方是counter()函数返回一个incr()，一个可以调用的函数对象。

运行：

>>> c = counter(5)

>>> type(c)

<type 'function'>

>>> print c()

6

>>> print c()

7

>>> c2 = counter(99)

100

>>> print c()

8

在离散中“关系”的闭包(Closure)

离散数学中，一个关系R的闭包，是指加上最小数目的有序偶而形成的具有自反性，对称性或传递性的新的有序偶集，此集就是关系R的闭包。

设R是集合A上的二元关系，R的自反（对称、传递）闭包是满足以下条件的关系R'：

（i）R'是自反的（对称的、传递的）；

（ii）R'⊇R；

（iii）对于A上的任何自反（对称、传递）关系R"，若R"⊇R，则有R"⊇R'。

R的自反、对称、传递闭包分别记为r(R)、s(R) 和t(R)。

性质1:

集合A上的二元关系R的闭包运算可以复合，例如:

ts(R)=t(s(R))

表示R的对称闭包的传递闭包，通常简称为R的对称传递闭包。而tsr(R)则表示R的自反对称传递闭包。

性质2:

设R是集合A上的二元关系，则有

（a）如果R是自反的，那么s(R)和t(R)也是自反的；

（b）如果R是对称的，那么r(R)和t(R)也是对称的；

（c）如果R是传递的，那么r(R)也是传递的。

性质3:

设R是集合A上的二元关系，则有

（a）rs(R)=sr(R)；

（b）rt(R)=tr(R)；

（c）ts(R)⊇ st(R)。