定义

例题

定义

延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

例题

例1：如图，在△ABC中，AB=2AC，AD平分BC，AD⊥AC，求∠BAC的度数。

解：延长AD,使AD=DE，连接BE。

∵AD⊥AC(已知)

∴∠EAC=90°(垂直定义)

∵∠ADC和∠BDE是对顶角(已知)

∴∠ADC=∠BDE(对顶角定义)

又∵AD平分BC(已知)

∴DB=DC(平分线定义）

在△ADC和△EDB中：

【DA=DE】（已知）

【∠ADC=∠BDE】(已证)

【DB=DC】(已证）

∴△ADC≌△EDB（SAS)

∴AC=BE（全等三角形对应边等）

∴∠E=∠EAC=90°（等量代换）

∵AB=2AC（已知）

∴AB=2BE（等量代换）

即1/2AB=BE

∴∠BAE=30（在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）

∴∠BAC=∠BAE+∠EAC

=30°+90°

=120°（等式性质）

例2：如图，在△ABC中，AB=5a，AC=3a（a>0），求中线AD的取值范围。

解：延长AD至AE,交BC于D，使DE=AD。连接EC。

∵∠EDC和∠BDA是对顶角

∴∠EDC=∠BDA

又∵D是BC的中点

∴BD=DC

在△ABD和△CDE中：

【DE=AD】

【∠EDC=∠BDA】

【BD=DC】

∴△ABD≌△CDE(SAS)

∴AB=EC=5a

∵△ACE

∴AC+EC>AE>AC-EC

又∵AC=3a，EC=5a

∴AE的取值范围为：5a+3a>AE>5a-3a

即8a>AE>2a

由题意：AE=2AD

∴8a>2AD>2a

即4a>AD>a