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词条 倍长中线法
释义

定义

延长中线,使所延长部分与中线相等,然后往往需要连接相应的顶点,则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(一般都是原题已经有中线时用,不太会有自己画中线的时候)。

例题

例1:如图,在△ABC中,AB=2AC,AD平分BC,AD⊥AC,求∠BAC的度数。

解:延长AD,使AD=DE,连接BE。

∵AD⊥AC(已知)

∴∠EAC=90°(垂直定义)

∵∠ADC和∠BDE是对顶角(已知)

∴∠ADC=∠BDE(对顶角定义)

又∵AD平分BC(已知)

∴DB=DC(平分线定义)

在△ADC和△EDB中:

【DA=DE】(已知)

【∠ADC=∠BDE】(已证)

【DB=DC】(已证)

∴△ADC≌△EDB(SAS)

∴AC=BE(全等三角形对应边等)

∴∠E=∠EAC=90°(等量代换)

∵AB=2AC(已知)

∴AB=2BE(等量代换)

即1/2AB=BE

∴∠BAE=30(在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)

∴∠BAC=∠BAE+∠EAC

=30°+90°

=120°(等式性质)

例2:如图,在△ABC中,AB=5a,AC=3a(a>0),求中线AD的取值范围。

解:延长AD至AE,交BC于D,使DE=AD。连接EC。

∵∠EDC和∠BDA是对顶角

∴∠EDC=∠BDA

又∵D是BC的中点

∴BD=DC

在△ABD和△CDE中:

【DE=AD】

【∠EDC=∠BDA】

【BD=DC】

∴△ABD≌△CDE(SAS)

∴AB=EC=5a

∵△ACE

∴AC+EC>AE>AC-EC

又∵AC=3a,EC=5a

∴AE的取值范围为:5a+3a>AE>5a-3a

即8a>AE>2a

由题意:AE=2AD

∴8a>2AD>2a

即4a>AD>a

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更新时间:2025/3/22 23:04:45