词条 | 倍长中线法 |
释义 | 定义延长中线,使所延长部分与中线相等,然后往往需要连接相应的顶点,则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(一般都是原题已经有中线时用,不太会有自己画中线的时候)。 例题例1:如图,在△ABC中,AB=2AC,AD平分BC,AD⊥AC,求∠BAC的度数。 解:延长AD,使AD=DE,连接BE。 ∵AD⊥AC(已知) ∴∠EAC=90°(垂直定义) ∵∠ADC和∠BDE是对顶角(已知) ∴∠ADC=∠BDE(对顶角定义) 又∵AD平分BC(已知) ∴DB=DC(平分线定义) 在△ADC和△EDB中: 【DA=DE】(已知) 【∠ADC=∠BDE】(已证) 【DB=DC】(已证) ∴△ADC≌△EDB(SAS) ∴AC=BE(全等三角形对应边等) ∴∠E=∠EAC=90°(等量代换) ∵AB=2AC(已知) ∴AB=2BE(等量代换) 即1/2AB=BE ∴∠BAE=30(在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半) ∴∠BAC=∠BAE+∠EAC =30°+90° =120°(等式性质) 例2:如图,在△ABC中,AB=5a,AC=3a(a>0),求中线AD的取值范围。 解:延长AD至AE,交BC于D,使DE=AD。连接EC。 ∵∠EDC和∠BDA是对顶角 ∴∠EDC=∠BDA 又∵D是BC的中点 ∴BD=DC 在△ABD和△CDE中: 【DE=AD】 【∠EDC=∠BDA】 【BD=DC】 ∴△ABD≌△CDE(SAS) ∴AB=EC=5a ∵△ACE ∴AC+EC>AE>AC-EC 又∵AC=3a,EC=5a ∴AE的取值范围为:5a+3a>AE>5a-3a 即8a>AE>2a 由题意:AE=2AD ∴8a>2AD>2a 即4a>AD>a |
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