伴随轨迹

伴随抛物线和伴随直线

伴随抛物线的性质

例

伴随抛物线（Concomitant parabola）

伴随轨迹

点P(p1,p2)在曲线F(x,y)=0上运动，由点P的移动，按照一定的关系，引起点M(m1,m2)的移动，则称点M是点P的伴随点，M的运动轨迹G(x,y)=0称为伴随轨迹．

伴随抛物线和伴随直线

对于抛物线l：y=ax^2+bx+c（其中a,b,c均不为0），它的顶点P的坐标是(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))，焦参数p=1/(2|a|)，与y轴的交点是M(0,c)．我们称以M为顶点，关于y轴对称，过点P的抛物线r为抛物线l的伴随抛物线．直线PM为l的伴随直线．伴随抛物线r的方程为y=-ax^2+c．伴随直线PM的方程为y=(b/2)x+c．

伴随抛物线的性质

伴随抛物线r的焦参数也是p=1/(2|a|)，与原抛物线l形状相同，大小相等，并且关于线段PM的中点Q中心对称．Q点的坐标为(-b/(4a),(8ac-b^2)/(8a))．

特别地，抛物线x^2=2py的伴随抛物线为x^2=-2py，伴随直线为x轴．

伴随关系是一种主从关系，不可逆，换言之，一条抛物线的伴随抛物线的伴随抛物线不是它本身．

例

（1）写出抛物线y=2x^2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式；

（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线方程分别是y=-x^2-3，y=-x-3，求这条抛物线的方程；

（3）若抛物线l：y=ax^2+bx+c与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点，0<x1<x2，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD．求出a,b,c应满足的条件．

解：

（1）伴随抛物线的解析式为：y=-2x^2+1 ，伴随直线的解析式为：y=-2x+1；

（2）所求抛物线的方程为y=x^2-2x-3；

（3）l的伴随抛物线方程为y=-ax^2+c．设C(x3,0)、D(x4,0)，根据韦达定理，x3+x4=0，x3x4=-c/a ，所以|CD|^2=(x4-x3)^2=(x3+x4)^2-4x3x4=4c/a．同理可得，|AB|^2=(x4-x3)^2=(b^2-4ac)/a^2 ．因为AB=CD，所以4c/a=(b^2-4ac)/a^2，即b^2-8ac=0，这就是a,b,c应满足的条件．此时，对称中心为(-b/(4a),0)，在x轴上．