摆线的等时性

应用

证明

摆线的等时性

将摆线的一拱倒转，即对其底线作镜射，则此段摆线的最高点 C 变成最低点，若一质点从此段摆线任意点出发，在重力作用下沿摆线向下滑，则此质点到达最低点C所需的时间与出发点的位置无关。即：从任意两相异点出发，它们到达C点的时间相同。为π√(a/g)，其中a为此段摆线对应的动圆半径。

应用

惠更斯在1657年利用单摆的等时性原理发明了摆钟以后，逐渐发现单摆的等时性是有限制的——即在摆角小于5°的时候，摆角的正弦值可近似的看做摆角的值，即Sin θ ≈ θ，从而有周期T=2π√(L/g)。

在不断的研究后，发现摆线的等时性不受摆角的影响，从而在1673年利用摆线的等时性制作出了具有真正等时性的摆钟。

不论振幅为多少，其周期是个定值，此定值等于 π√(4a/g)

证明

倒转后的摆线的参数方程为 x=aθ-asinθ， y=-a+a*cosθ ， 质点下滑的出发点 P 所对应的参数为 θ′（0<θ′<π）。当质点下滑到参数为 θ 的点时，根据能量守恒定律，质点丧失的势能转变成动能，所以质点在该处的的瞬时速度为 v（θ）=√(2ag（cosθ′-coaθ）)。

另一方面，弧长 s 的微分为 ds=√((dx)&sup2;+(dy)&sup2;)=2a*sin(θ/2)dθ

于是，质点滑落到最低点 C所需的时间为 ∫[θ′,π](2a*sin(θ/2)dθ )/√(2ag（cosθ′-coaθ）)

此值等于 π√(a/g)，与θ′无关。