对一般的矩阵来说，要把矩阵化成标准型才可以这样说。一个矩阵是正定的是指该矩阵对应的实二次型f（x1,x2,...,xn）对任意的一组不全为零的实数c1,c2,...,cn都有f(c1,c2,...,cn)>0

半正定矩阵概述

判定一个矩阵半正定

半正定矩阵概述

定义　一个n× n的埃尔米特矩阵M是正定的当且仅当对于每个非零的复向量z，都有z*Mz > 0，则称M为正定矩阵，其中z* 表示z的共轭转置。当z*Mz > 0弱化为z*Mz≥0时，称M是半正定矩阵由于 M是埃尔米特矩阵，经计算可知，对于任意的复向量z，z*Mz必然是实数，从而可以与0比较大小.

与正定矩阵相对应，一个n× n的埃尔米特矩阵M是负定矩阵,当且仅当对非零的复向量z都有：z*Mz < 0.

具有对称矩阵A的二次型f=x'Ax

如果对任何非零向量x，都有x'Ax≥0（或x’Ax≤0）成立，且有非零向量x0，使x0'Ax0=0，则称f为半正定（半负定）二次项，矩阵A称为半正定矩阵（半负定矩阵）

判定一个矩阵半正定

1、对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：

2、半正定矩阵

定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有XTAX≥0，就称A为半正定矩阵。

3、A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：A的所有主子式大于或等于零。