| 词条 | 伽利略变换 |
| 释义 | 伽利略变换：若O´-x´y´z´参照系沿着x轴方向以速度v相对于O-xyz参照系运动，且t=0时两参照系的原点重合，则两参照系之间有如下关系：x' = x − vt 、y' = y 、z' = z t' = t 两参照系描述同一运动的速度是不同的，但加速度是相等的。 一切惯性系都是等价的，我们可以任取最为简洁的参照系进行计算。 基本简介伽利略变换（Galilean trans- formations) 伽利略变换是在牛顿力学中用来联系各匀速运动（惯性)参考系的时间与空间变量的数学变换族。在两个方位相同的直角坐标系沿它们的公共轴 线（x，x，）运动的简单情况下，变换方程为 了一x一vt了一yzl一z t，=t， (l) 其中x，y，z与了，了，才是已知质点的空间坐标， v是一个坐标系相对于另一坐标系的速度。具有任意个位移量与方位的笛卡儿直角坐标系 之间的变换方程（x1=x，xZ~y，x3=z）为 x，，一艺c，（x。一a，一v*，） k一1 t，二t一a咯， （2） 其中al，。：，a3，a4与v，，vZ，v3都是任意实数，系 数（cj*）都是常数。矩阵c一〔‘们是实正交矩阵， 所以它满足条件C一’二C：，C一‘与C，分别为C的逆 矩阵与转置矩阵。伽利略变换形成一个10参数群，它可由空间与 时间坐标的平移、空间坐标系的旋转以及向运动参 考系的转换所组成。参阅“参考系”（frame of refer- ence）条。 公式若O´-x´y´z´；参照系沿着x轴方向以速度v相对于O-xyz参照系运动，且t=0时两参照系的原点重合，则两参照系之间有如下关系： x' = x − vt y' = y z' = z t' = t 两参照系描述同一运动的速度是不同的，但加速度是相等的。一切惯性系都是等价的，我们可以任取最为简洁的参照系进行计算。 证明过程设惯性系K’（x’，y’，z’，t’）沿惯性系K(x,y,z,t）的x轴正向以速度U=(u,0,0）匀速运动，自惯性系K到惯性系K’的正交线性变换为A=(aij) (i,j=1,2,3,4），即 （x’，y’，z’，t’）=(x,y,z,t)A ① 令R=(x,y,z），R’=(x’，y’，z’），A11=(aij) (i,j=1,2,3），A12=(ai4） (i=1,2,3），A21=(a4j) (j=1,2,3），A22=(a44）， 则由K到K’的线性变换可改写为 R’=RA11+tA21，t’=RA12+ta44 ② 于是 dR’/dt’=((dR/dt)A11+A21）/((dR/dt)A12+a44） 令dR/dt=V，dR’/dt’=V’，则V、V’分别表示运动粒子在K与K’系中的速度，上式可改写为 V’=(VA11+A21）/(VA12+a44） ③ 满足上述速度变换的初始条件有（1）洛仑兹变换与伽利略变换的公共条件：“V’=0，V=U”与“V=0，V’=–U”；（2）满足伽利略变换的极限条件：|V|→∞时，|V’|→∞。 将条件（2）代入，并令V/|V|=V0得 |V’|=|(V0A11+A21/|V|)/(V0A12+a44/|V|)|=|V0A11/V0A12|=∞ (|V|→∞） 上式成立，必有A12’=0=(0,0,0) [注1]，于是③式变为 V’=VA11/a44+A21/a44 ④ 再将条件（1）代入④式，得 UA11/a44+A21/a44=0，A21/a44=–U 由此得 A21=–UA11，A21 =–Ua44 由于U=(u,0,0），代入上式便得a12=a13=a42=a43=0，a41=–a11u， a44=a11，再由A12’=(0,0,0）得a14=a24=a34=0，代入④式，并令V=(vx,vy,vz），V’=(vx’，vy’，vz’），便得 （vx’，vy’，vz’）=(a11(vx–u)+a21vy +a31vz，a22vy +a32vz，a23vy +a33vz)/a11 ⑤ 由于对于vx’=0的点，vx =u，代入便得a21=a31=0；对于vy =0的点，vy’ =0，代入便得a32=0；对于vz =0的点，vz’ =0，代入便得a23=0，于是有 a12=a13= a14= a21=a23=a24= a31=a32=a34=a42=a43=0，a41=–a11u，a44=a11 将上述条件代入①式得 （x’，y’，z’，t’）=(x,y,z,t)A=(a11(x–ut），a22y，a33z，a11t) ⑥ 又当t=0时，K与K’两惯性系重合，故当t=0时，有x’=x，y’=y，z’=z [注2] ，代入⑥式便得a11=a22=a33=1，这样就得到了伽利略变换为 （x’，y’，z’，t’）=( x–ut，y，z，t) 证毕。 [注1] A12’表示A12的转置。 [注2]显然这一条件是相对论所不容许的，但其合理性是不容置疑的。如果在式⑥中直接代入洛仑兹变换证明中的假定a22=a33=1，或根据洛仑兹变换证明中使用的惯性系平权原理：自K’系到K系的线性变换为A(-U），且A(U)A(-U)=E，亦能得到a11=a22=a33=1，从而得到伽利略变换，恕不赘述。 与相对论的关系及适用范围伽利略变换与相对论无关，伽利略变换是牛顿力学的根基之一，反映了经典力学的时空观。 伽利略变换是在低速下（指V<<C时）的特殊数学物理工具 当V接近于C时伽利略变换不成立 此时需借助洛伦兹变换才可解决问题 推理过程推论1运动物体相对于参照系A:O'-x'y'z' 的运动速度 v' 等于该物体相对于参照系 B:O-xyz 的运动速度 v 与参照系 A 相对于参照系 B 的速度 v0 之和。 证明： 设该运动物体沿着x轴方向运动，并且在t=0时正好处于两个参照系的原点（如上述的情况：两参照系此时的原点重合） 则经过了时间t之后，该物体在参照系 A 中的坐标为 x' = v't ............................................ （1） y' = 0 z' = 0 同样地，经过了时间t之后，该物体在参照系 B 中的坐标为x = vt ............................................. （2） y = 0 z = 0 而此刻参照系 A 相对于参照系 B 的坐标关系有 x' = x + v0t ......................................... （3） y' = y z' = z 由（1）,（2）,（3）式可得 v't = vt + v0t 即 v' = v + v0 .......................................... （4） 推论2同一个运动物体相对于两个惯性参照系（匀速相对运动）的加速度相同 证明： 设该运动物体沿着 x 轴方向做匀加速运动，在 t=0 是正好处于两个参照系的原点， 并设此时其相对于参照系 A 的初始速度为 v'，加速度为 a'; 相对于参照系 B 的初始速度为 v，加速度为 a; 参照系 A 相对于参照系 B 沿着 x 轴方向运动并且速度恒为 v0。 则有 ...................................... （5） ........................................ （6） 将 （5）,（6） 代入 （3） 得 消去 t 即可得 将 （4） 式代入 ⇔ ⇔ a' = a |
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