词条 | 最长不下降序列 |
释义 | 设有由n个不相同的整数组成的数列,记为:a(1)、a(2)、……、a(n)且a(i)<>a(j) (i<>j) 例如3,18,7,14,10,12,23,41,16,24。 若存在i1<i2<i3< … < ie 且有a(i1)<a(i2)< … <a(ie)则称为长度为e的不下降序列。如上例中3,18,23,24就是一个长度为4的不下降序列,同时也有3,7,10,12,16,24长度为6的不下降序列。 下面是求一个最长不下降序列的pascal代码 program max_rise(input,output); const maxn=100;fname='q21.txt'; type tlist=array[1..maxn,1..3] of integer; var d:tlist;n:byte; procedure init; var i:integer; f:text; begin assign(f,fname); reset(f); readln(f,n); for i:=1 to n do begin read(f,d[i,1]); d[i,2]:=1; d[i,3]:=0 end; close(f); end; procedure make; var i,j,p:byte; l:integer; begin for i:=n-1 downto 1 do begin l:=0;p:=0; for j:=i+1 to n do if (d[i,1]<d[j,1]) and (d[j,2]>l) then begin l:=d[j,2]; p:=j; end; if l>0 then begin d[i,2]:=l+1; d[i,3]:=p; end; end; end; procedure output; var i,l,dmax:byte; begin write('source:'); for i:=1 to n do write(d[i,1]:5); writeln; dmax:=d[1,2]; l:=1; for i:=2 to n-1 do if d[i,2]>dmax then begin dmax:=d[i,2]; l:=i; end; write('result is: '); while l<>0 do begin write(d[l,1]:5); l:=d[l,3]; end; writeln; writeln('max length=',dmax); end; begin init; make; output; end. input: 10 3 18 7 14 10 12 23 41 16 24 output: source: 3 18 7 14 10 12 23 41 16 24 result is: 3 7 10 12 23 41 max length = 6 最长不下降序列nlogn算法: 算法分析: 设 A[t]表示序列中的第t个数,F[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度,初始时设F [t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程:F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])。 现在,我们仔细考虑计算F[t]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y],满足 (1)x < y < t (2)A[x] < A[y] < A[t] (3)F[x] = F[y] 此时,选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[t]值,那么,在最长上升子序列的这个位置中,应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢? 很明显,选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2),在A[x+1] ... A[t-1]这一段中,如果存在A[z],A[x] < A[z] < a[y],则与选择A[y]相比,将会得到更长的上升子序列。 再根据条件(3),我们会得到一个启示:根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k,我们只需要保留满足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。设D[k]记录这个值,即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。 注意到D[]的两个特点: (1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。 (2) D[]的值是有序的,即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。 利 用D[],我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[t]与D[len]。若A [t] > D[len],则将A[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列,len = len + 1, D[len] = A [t];否则,在D[1]..D[len]中,找到最大的j,满足D[j] < A[t]。令k = j + 1,则有A [t] <= D[k],将A[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列,更新D[k] = A[t]。最后,len即为所要求的最长上 升子序列的长度。 在 上述算法中,若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找,由于共有O(n)个元素需要计算,每次计算时的复杂度是O(n),则整个算法的 时间复杂度为O(n^2),与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2),我们在D[]中查找时,可以使用二分查找高效地完成,则整个算法 的时间复杂度下降为O(nlogn),有了非常显著的提高。需要注意的是,D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列! pascal代码: program nlogn; var d,a:array[0..100000] of longint; len,i,k,n:longint; Function min(t:longint):longint; var s,w,mid:longint; begin s:=0;w:=len; while s<w do begin mid:=(s+w)div 2; if d[mid]<t then s:=mid+1 else w:=mid; end; min:=s; end; begin readln(n); for i:=1 to n do read(a[i]); readln; len:=0; d[0]:=-maxlongint; for i:=1 to n do begin if a[i]>d[len] then begin inc(len); d[len]:=a[i]; end else begin k:=min(a[i]); if d[k]>a[i] then d[k]:=a[i]; end; end; writeln(len); end. |
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