定义

自相关函数的性质

自相关函数举例

定义

自相关函数在不同的领域，定义不完全等效。在某些领域，自相关函数等同于自协方差(autocovariance)。

统计学

R(k) = \\frac{E[(X_i - \\mu)(X_{i+k} - \\mu)]}{\\sigma^2}信号处理

R_f(\\tau) = f(\\tau) * f^*(-\\tau)= \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(t+\\tau)f^*(t)\\, dt = \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(t)f^*(t-\\tau)\\, dt，其中“*”是卷积算符，(\\cdot)^*为取共轭。

同一时间函数在瞬时t和t+a的两个值相乘积的平均值作为延迟时间t的函数，它是信号与延迟后信号之间相似性的度量。延迟时间为零时，则成为信号的均方值，此时它的值最大。

自相关函数的性质

以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。

对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(−i)。连续型自相关函数为偶函数

当f为实函数时，有：

R_f(-\\tau) = R_f(\\tau)\\,

当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足：

R_f(-\\tau) = R_f^*(\\tau)\\,

其中星号表示共轭。

连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时 τ，均有 |R_f(\\tau)| \\leq R_f(0)。该结论可直接有柯西-施瓦兹不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。

周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。

两个相互无关的函数（即对于所有 τ，两函数的互相关均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。

由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。

连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除 τ = 0 之外的所有点均为0。

维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对：

R(\\tau) = \\int_{-\\infty}^\\infty S(f) e^{j 2 \\pi f \\tau} \\, df

S(f) = \\int_{-\\infty}^\\infty R(\\tau) e^{- j 2 \\pi f \\tau} \\, d\\tau.

实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式：

R(\\tau) = \\int_{-\\infty}^\\infty S(f) \\cos(2 \\pi f \\tau) \\, df

S(f) = \\int_{-\\infty}^\\infty R(\\tau) \\cos(2 \\pi f \\tau) \\, d\\tau.

自相关函数举例

白噪声的自相关函数为δ函数：

r_{nn} = \\mathbb{E} \\{ n(t) n(t-\\tau) \\} = \\delta ( \\tau )